有一座小山，现要在小山A、B的两端开一条隧道，施工队要知道A、B两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A、B两端的距离，你能说说其中的道理吗？

如图，△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，BD＝BE，要使△ADB≌△CEB，还需添加一个条件．

(1)给出下列四个条件：

①AD＝CE；

②AE＝CD；

③∠BAC＝∠BCA；

④∠ADB＝∠CEB；

请你从中选出一个能使△ADB≌△CEB的条件，并给出证明；

(2)在(1)中所给出的条件中，能使△ADB≌△CEB的还有哪些？直接在题后横线上写出满足题意的条件序号．________．

如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12 cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．

(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？

(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？

(3)当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．

如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．

(1)试判定△ODE的形状，并说明你的理由；

(2)线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．

如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO＝PD，那么AP的长是________．

如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D

(1)请你写出图中所有的等腰三角形；

(2)请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．

(3)如果BC＝10，求AB＋AE的长．

如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BE＝CF，AD＋EC＝AB

(1)求证：△DEF是等腰三角形；

(2)当∠A＝40°时，求∠DEF的度数；

(3)△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？

(4)请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF＋∠EFD＝120°，并请说明理由．

如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，那么线段AB、BD、DE之间有什么数量关系？并加以证明．

如图，△ABC和△关于直线m对称．

(1)结合图形指出对称点．

(2)连接A、，直线m与线段AA′有什么关系？

(3)延长线段AC与A′C′，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段(或其延长线)的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流．

如图，∠A＝90°，E为BC上一点，A点和E点关于BD对称，B点、C点关于DE对称，求∠ABC和∠C的度数．