如图，一根长度为50 cm的木棒AB的两端系着一根长度为70 cm的绳子．现准备在绳子上找一点C，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，则点C将绳子分成的两段各有多长？

甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8∶00甲先出发，并以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，并以5千米/时的速度向北行走，求上午10∶00，甲、乙两人相距多远？此时还能保持联系吗？

如图，A、B两个小镇在河流CD同侧，到河的距离分别为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米．现在要在河边修建一个自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河岸上选择修建水厂的位置P，使铺设水管的费用最低，并求出最低费用．

如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其底边长为8 cm，腰长为5 cm．一动点P在底边上从点B向点C以0.25 cm/s的速度移动．请你探究：当点P运动多长时间时，点P与顶点A的连线PA与腰垂直？

公园的长椅上坐着两位白发苍苍的老人，旁边站着两位青年，他们在交谈．

老人说：“我们俩的年龄的平方差是195．”不等老人说完，青年人就说：“真巧，我们俩的年龄的平方差也是195．”这时一对中年夫妇也凑过来说：“真是巧极了，我们俩的年龄的平方差也是195．”

假设x²－y²＝195，请你想一想，这三对人的年龄各是多少？

“中国结”大家都不陌生，悠久的历史和漫长的文化沉淀使“中国结”蕴涵了中华民族特有的文化精髓．手工艺人编制时将不同的基本结加以组合，间配以饰物，便成为富含文化底蕴，表示美好祝福，形式精美华丽的工艺品了．

下图是手工艺人用彩带编制中国结饰品中的一个小环节：图(1)是一条长方形彩带，编制者要先量出∠DEF＝20°，并把折痕EF做上记号，再将彩带沿EF折叠成图(2)，最后沿GF折叠成图(3)，这样就完成了这个环节．那么你知道图(3)中的∠CFE的度数吗？动手试一试吧！

阅读下列材料，回答问题：

材料：探照灯、蜗行天线、汽车灯以及很多灯具都与抛物线形状有关，如图(1)是一探照灯的灯碗，从侧面上看，从位于E点的灯泡发出的两束光线EA、EC经灯碗反射后平行射出，如果图中的∠BAE＝α，∠DCE＝β，则∠AEC的度数应怎样表示？

问题1：请求出材料中的∠AEC的度数．

问题2：爱动脑筋的小杰同学想：在图(1)中的这三个角有这样的特定关系，那么当点E在图(2)－(4)这些位置时，且AB∥CD，∠BAE、∠DCE和∠AEC之间有什么关系呢？你能帮小杰同学解决这个问题吗？请写出这三幅图中的规律，并选取其中的一个给予证明．