在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB中点P处，将三角板绕P点旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、射线CB于D、E两点．如图是旋转三角板得到的图形中的其中三种探究．

(1)三角板绕P点旋转，观察线段PD与PE之间有什么大小关系？并以图(2)为例加以证明．

(2)三角板绕P点旋转△PBE是否能成为等腰三角形？若能指出所有情况(即求出△PBE为等腰三角形时的CE的长)，若不能说明理由．

(3)若将三角板直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM∶MB＝1∶3和前面一样操作试问线段MD与ME之间有什么关系？请直接写出结论．

在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

(1)当直线MN绕点C旋转到图(1)的位置时，求证：

①△ADC≌△CEB；②DE＝AD＋BE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时，求证：DE＝AD－BE；

(3)当直线MN绕点C旋转到图(3)的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个！等量关系，并加以证明．

在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕P点旋转，三角板的两条直角边分别交AC、CB于D、E两点，如图(1)、(2)所示．

(1)问PD与PE有何大小关系？并以图(2)为例加以说明；

(2)在旋转过程中，还会存在与图(1)、(2)不同的情形吗？若存在，请在图(3)中画出，并说明(1)中PD与PE的大小关系在图(3)中是否还成立？

数学探究课上李老师出了这样一道题：“如图，正三角形ABC中有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，试求∠APB的度数．”小明和小军一起讨论时发现了一种求∠APB度数的方法，下面是这种方法的一部分思路．请按照下列思路要求画图或判断．

(1)在图中画出△APC绕A点顺时针旋转60°后的图形△AP₁B；

(2)试判断△AP₁P的形状，并说明理由；

(3)试判断△BP₁P的形状，并说明理由；

(4)由2，3两问可知：∠APB＝________．

李老师看过后，夸奖了他们，同时提示他们试试以B点或C点为旋转中点，对某个三角形进行适当地旋转，看一看是否可以求出∠APB度数．你认为可以吗？如果可以，给出一种具体的旋转方法；如果不可以，请说明理由．

把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG(其直角边边长均为4)叠放在一起(如图甲)，且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合，现将三角板EFG绕O点按顺时针方向旋转(旋转角α满足条件0°＜α＜90°)，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分(如图乙)，在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论．

在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P是边BC上的一个动点，以BP为边长作正方形PQRS，设BP＝x，正方形PQRS与矩形ABCD重合图形(阴影部分)的周长为y．如图甲，图乙所示，解答下列问题：(1)分别写出x＝2和x＝6时的y值；(2)分别写出0＜x≤4和4≤x＜8时的函数解析式；(3)在下面的坐标网格中画出函数图象．

学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人(如图)

(1)按照这种规定填写下表：

(2)根据表中的数据，将s作为纵坐标，n作为横坐标，在如图所示的平面直角坐标系中找出相应各点．

(3)请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数图象上，求出该函数的解析式，并利用你探求的结果，求出当n＝10时，s的值．

如图a，边长为2的正方形ABCD，顶点A的坐标是(0，2)．一次函数y＝x＋t的图象l随t的不同取值时，位于l的右下方由l和正方形的边围成的图形面积为s(阴影部分)．(1)当t取何值时，s＝3？(2)在平面直角坐标系中(图b)，画出s与t的函数图象．

已知：正方形ABCD中，M为AB的中点，E为AB延长线上一点，MN⊥DM交∠CBE的平分线于N(如图)．

(1)求证：MD＝MN．

(2)若将上述条件的“M为AB中点”改成“M是AB上任一点”，其余条件不变(如图)，则结论“MD＝MN”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

如图所示，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

(1)试说明OE＝OF；

(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请简要说明理由．