如图所示，一根长2a的木棍(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．

(1)请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．

(2)在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．

如图所示，在一条河的两岸分别有A、B两个村庄，现要修一条垂直于河岸的桥，问桥修在何处，能使从A村到B村所走的路程最短？

观察甲、乙两图，回答下列问题：

(1)填空：两图中的________图较符合传统寓言故事《龟兔赛跑》中所描述的情节．

(2)根据第(1)题中你认为是传统寓言故事的那幅图，填写下表：

(3)根据第(1)题中你认为是传统寓言故事的那幅图，求下列问题：

①龟兔赛跑过程中龟的函数关系式(要注明函数自变量的取值范围)；

②乌龟经过多长时间追上小兔，相遇时距起点有多远的路程？

(4)请你根据另一幅图，充分发挥你的想象，自编一则新的龟兔赛跑的寓言故事，要求如下：

①用简洁明快的语言概括大意，不能超过200个字；

②图中能确定的数值，在故事的叙述中不得少于3个，且要分别涉及到时间、路程和速度这三个量．

如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，设P为BC上任意一点，P点与B、C不重合，且CP＝x，若y＝S_△APB，

(1)求y与x的函数关系式；

(2)求自变量的取值范围．

某饮料厂为了开发新产品，用A、B两种果汁原料各19千克、17.2千克，试制甲、乙两种新型饮料共50千克，下表是实验的相关数据：

(1)假设甲种饮料需配制x千克，请你写出满足题意的不等式组，并求出其解集；

(2)设甲种饮料每千克成本4元，乙种饮料每千克成本3元，这两种饮料的成本总额为y元，请写出y与x的函数表达式，并根据(1)的运算结果，确定当甲种饮料配制多少千克时，甲乙两种饮料的成本总额最少？

某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的日销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：

若日销售量y(件)是销售价x(元)的一次函数．

(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式；

(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日的销售利润是多少？