如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.

(1) 求证：DC=BC;

(2) E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；

(3) 在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值.

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点为，B（5,0），M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，OD＝BC＝2，∠DMC＝∠DOB＝60°．

(1）求直线CB的解析式；

(2）求点M的坐标；

(3）∠DMC绕点M顺时针旋转α　(30°＜α＜60°）后，得到∠D_1MC1（点D1，C1依次与点D，C对应），射线MD1交直线DC于点E，射线MC1交直线CB于点F　，设DE＝m，BF＝n .求m与　n的函数关系式．

王爷爷在给小朋友分糖，分到小明，小明说：“你再给我两块糖，那么我的糖的总数的平方，等于我原有的糖的数量的9倍”你能知道小明原有几块糖吗？

如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB＝3，AD＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A－B－C－D的路线作匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．

(1）求P点从A点运动到D点所需的时间；

(2）设P点运动时间为t（秒）。

①当t＝5时，求出点P的坐标；

②若⊿OAP的面积为s，试求出s与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）．

在平面直角坐标系中,已知A(0,2),B(4,0),设P、Q分别是线段AB、OB上的动点,它们同时出发,点P以每秒3个单位的速度从点A向点B运动,点Q以每秒1个单位的速度从点B向点O运动.设运动时间为t(秒).

(1)用含t的代数式表示点P的坐标;

(2)当t为何值时,△OPQ为直角三角形

(3)在什么条件下,以Rt△OPQ的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线?选择一种情况,求出所确定的抛物线的解析式.

如图，在中，所对的圆心角为，已知圆的半径为2cm，并建立如图所示的直角坐标系．

(1）求圆心的坐标；

(2）求经过三点的抛物线的解析式；

(3）点是弦所对的优弧上一动点，求四边形的最大面积；

(4）在（2）中的抛物线上是否存在一点，使和相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在梯形中，，过对角线的中点作，分别交边于点，连接．

(1）求证：四边形是菱形；

(2）若，，求四边形的面积．

如图，在直角坐标系中，O为原点，A（4，12）为双曲线（x>0）上的一点.

⑴求k的值；

⑵过双曲线上的点P作PB⊥x轴于B，连接OP，若Rt△OPB两直角边的比值为，试求点P的坐标.

⑶分别过双曲线上的两点P₁、P2，作P1B1⊥x轴于B1，P2B2⊥x轴于B2，连结OP1、OP2.设Rt△OP1B1、Rt△OP2B2的周长分别为l1、l2，内切圆的半径分别为r1、r2,若，试求的值.

在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD中，边，边，且AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合．将矩形折叠，使点A落在边DC上，设点是点A落在边DC上的对应点．

⑴ 当矩形ABCD沿直线折叠时（如图1），求点的坐标和b的值；

⑵ 当矩形ABCD沿直线折叠时，

① 求点的坐标（用k表示）；求出k和b之间的关系式；

② 如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分为如图2、图3、图4所示的三种情形，请你分别写出每种情形时k的取值范围．（将答案直接填在每种情形下的横线上）k的取值范围是　　　　 　　　　 ； k的取值范围是　　　　　　 　　　　 ；k的取值范围是　　　　　　 　　　　 ；

如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点C．

⑴ 求点C的坐标；

⑵ 求△OAC的面积；

⑶ 若P为线段OA（不含O、A两点）上的一个动点，过点P作PD∥AB交直线OC于点D，连结PC．设OP = t，△PDC的面积为S，求S与t之间的函数关系式；S是否存在最大值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．