如图，已知等边，以边为直径的半圆与边分别交于点，点．过点作，垂足为点．

(1）判断与的位置关系，并证明你的结论；

(2）过点作，垂足为点．若等边的边长为4，求的长（结果保留根号）．

如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12。以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E。

(1)求证：直线EF是⊙O的切线；

(2)求sin∠E的值。

如图，△ABO中，OA=OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点E、F．

⑴求证：AB是⊙O的切线；

⑵若△ABO腰上的高等于底边的一半，且AB=，求的长．

如图，分别是的直径和弦，点为劣弧上一点，弦分别交于点，交于点，交于点，过点的切线交的延长线于点．

(1）若，求证：．

(2）点在劣弧的什么位置时，才能使，为什么？

如图1，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，一个直径与AD相等的圆与BC相切于点E、与AB相切于点F，连接EF .

⑴ 判断EF与AC的位置关系(不必说明理由)；

⑵ 如图2，过E作BC的垂线，交圆于G，连接AG. 判断四边形ADEG的形状，并说明理由；

⑶ 求证：AC与GE的交点O为此圆的圆心.

图1　　　　　　 图2

如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAC交⊙O于点E，过E作⊙O的切线ME交AC于点D．试判断△AED的形状，并说明理由．

如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.?

(1）求证：点F是BD中点；

(2）求证：CG是⊙O的切线；

(3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A的切线与CD的延长线交于E，且∠ADE=∠BDC.

(1）求证：△ABC为等腰三角形；

(2）若AE=6，BC=12，CD=5，求AD的长.

如图，AB是⊙O的直径，∠BAC = 60?，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于D，连结OC．

(1）求证：△CDQ是等腰三角形；

(2）如果△CDQ≌△COB，求BP:PO的值．

半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC ：CA＝4 : 3，点P在上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点O

(l）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；

(2）当点P运动到的中点时，求CQ的长；

(3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．