如图所示，⊙O₁和⊙O₂内切于点A，⊙O₂的弦BC经过⊙O₁上一点D，AB、AC分别交⊙O₁于E、F，AD平分∠BAC．

(1)求证：BC是⊙O₁的切线；

(2)若⊙O₁与⊙O₂的半径之比等于2∶3，BD=2，DF=，求AB和AD的长．

如图所示，⊙O₁和⊙O₂外切于点A，BC是⊙O₁和⊙O₂的外公切线，B、C为切点．AT为内公切线，AT与BC相交于点T．延长BA、CA，分别与两圆交于点E、F．

(1)求证：AB·AC＝AE·AF；

(2)若AT＝2，⊙O₁与⊙O₂的半径之比为1∶3，求AE的长．

如图所示，已知：A是⊙O₁、⊙O₂的一个交点，点M是O₁O₂的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O₁、⊙O₂于B、C．

(1)求证：AB＝AC；

(2)若O₁A切⊙O₂于点A，弦AB、AC的弦心距分别为d₁、d₂，求证：d₁＋d₂＝O₁O₂；

(3)在(2)的条件下，若d₁d₂＝1，设⊙O₁、⊙O₂的半径分别为R、r，求证R²＋r²＝R²r²．

如图所示，已知：⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，过B点作⊙O₁的切线交⊙O₂于D点，连结DA并延长与⊙O₁相交于C点，连结BC，过A点作AE∥BC，与⊙O₂相交于E点，与BD相交于F点．

(1)求证：EF·BC＝DE·AC；

(2)若AD=3，AC=1，AF=，求EF的长．

如图所示，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连结OD，且∠AOD=∠APC．

(1)求证：AP是⊙O的切线；

(2)若OC∶CB＝1∶2，且AB=9，求⊙O的半径及sinA的值．

如图所示，已知△ABC内接于⊙O，AE切⊙O于点A，BC∥AE．

(1)求证：△ABC是等腰三角形；

(2)设AB=10cm，BC=8cm，点P是射线AE上的点，若以A、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，这样的点有几个？并求AP的长．

如图所示，正方形ABCD的边长为2cm，以一边BC为直径在正方形内部作半圆，过点A作半圆的切线，切点为F，AF的延长线交CD于E．求：

(1)EC的长；

(2)cos∠BAE的值；

(3)S_△ADE．

如图所示，PA、PB分别和⊙O相切于A、B，AC是⊙O的直径，OP交AB于E，交劣弧于F，且AC＝4cm，PE＝3cm．

(1)求PA和BC的长；

(2)求证：点F是△PAB的内心．

已知Rt△ABC中，斜边AB=4，内切圆半径为－2．求：

(1)S_△ABC

(2)tanA＋tanB的值．

如图所示，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线相交于D，和⊙O相交于E，AC平分∠DAB．

(1)求证：∠ADC＝；

(2)若⊙O的半径为5，AD＝8，求AC．