已知一次函数y₁＝2x，二次函数y₂＝x²＋1．

(1)根据表中给出的x的值，计算对应的函数值y₁、y₂，并填在表格中：

(2)观察第(1)问表中有关的数据，证明如下结论：在实效范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y₁≤y₂均成立；

(3)试问，是否存在二次函数y₃＝ax²＋bx＋c，其图像经过点(－5，2)，且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y₁≤y₃≤y₂均成立，若存在，求出函数y₃的解析式；若不存在，请说明理由．

数学课上，老师出示图和下面条件：

如图，在直角坐标平面内，O为坐标原点，A点坐标为(1，0)，点B在x轴上且在点A的右侧，AB＝OA．过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y＝x²的图像于点C和D．直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H．记点C、D的横坐标分别为x_C、x_D，点H的纵坐标为y_H．

同学发现两个结论：①S_△CMD∶S_梯形ABMC＝2∶3；②数值相等关系：x_C·x_D＝－y_H．

(1)请你验证结论①和结论②成立；

(2)请你研究：如果将上述条件“A点坐标为(1，0)”改为“A点坐标为(t，0)(t＞0)”，其他条件不变，结论①是否仍成立？(请说明理由)

(3)进一步研究：如果将上述条件“A点坐标为(1，0)”改为“A点坐标为(t，0)(t＞0)”，又将条件“y＝x²”改为“y＝ax²(a＞0)”，其他条件不变，那么x_C、x_D和y_H有怎样的数值关系？(写出结果并说明理由)

如图，AB、CD是两个过江电缆的铁塔，塔AB高40米，AB的中点为P，塔底B距江面的垂直高度为6米．跨江电缆因重力自然下垂近似成抛物线形，为了保证过往船只的安全，电缆下垂的最低点距江面的高度不得少于30米．已知：人在距塔底B点西50米的地面E点恰好看到点E、P、C在一直线上；再向西前进150米后从地面F点恰好看到点F、A、C在一直线上．(1)求两铁塔轴线间的距离(即直线AB、CD间的距离)；(2)若以点A为坐标原点，向东的水平方向为x轴，取单位长度为1米，BA的延长线方向为y轴建立坐标系．求刚好满足最低高度要求的这个抛物线的解析式．

已知抛物线y＝x²－(2m＋4)x＋m²－10与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点．

(1)用配方法求顶点C的坐标(用含有m的代数式表示)；

(2)“若AB的长为2，求抛物线的解析式”的解法如下：

由(1)知，对称轴与x轴交于点D(________，0)．

∵抛物线具有对称性，且AB＝2，

∴AD＝DB＝|x_A－x_D|＝．

∵A(x_A，0)在抛物线y＝(x－h)²＋k上，

∴(x_A－h)²＋k＝0．　　　　①

∵h＝x_C＝x_D，

∴将|x_A－x_D|＝代入①，得到关于m的方程0＝()²＋(________)．　　②

补全解题过程，并简述步骤①的解题依据，步骤②的解题方法．

(3)将(2)中条件“AB的长为2”改为“△ABC为等边三角形”，用类似的方法求出抛物线的解析式．

如图，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动，且总保持PQ＝PO，过点Q作O的切线交BA的延长线于点C．

(1)当∠QPA＝时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明；

(2)当QP⊥AB时，△QCP的形状是何种三角形，并说明理由；

(3)由(1)、(2)得出结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP一定是何种三角形？

如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别为A(0，3)、B(－2，0)、C(m，0)，其中m＞0，以OB、OC为直径的圆分别交AB于点E，交AC于点F，连结EF．

(1)求证：△AFE∽△ABC；

(2)是否存在m的值，使得△AEF是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；

(3)观察当点C在x轴上移动时，点F移动变化的情况，试求点C从点C₁(，0)移动到点C₂(3，0)时，点F移动的行程．

如图，A、K为⊙O上两点，直线FN⊥MA，垂足为N，FN与⊙O相切于点F，∠AOK＝2∠MAK．(1)求证：MN是⊙0的切线；(2)若点B为⊙O上一动点，BO延长线交⊙O于点C，交NF于点D，连结AC并延长交NF于点E，当FD＝2ED时，求∠AEN的余切值．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   M

已知如图，⊙O₁与⊙O₂相交于点C，D，A是⊙O₁上一点，直线AD交⊙O₂于点B，(1)当点A在上运动到点时，作直线交⊙O₂于点，连结，，求证∽△ABC；(2)问点在上什么位置时，最大，请说明理由；(3)当O₁O₂＝11，CD＝9，求的最大值．

某容器盛满纯酒精25升，第1次倒出若干升后，用水加满，第二次倒出相同的升数的酒精溶液，再用水加满，此时还剩纯酒精16升，求每次倒出的酒精溶液升数．

已知关于x的方程x²－2(m＋1)x＋m²－2m－3＝0　　①的两个不相等的实数根中有一个根为0，是否存在实数k使关于x的方程x²－(k－m)x－k－m²＋5m－2＝0　　②的两个实数根x₁，x₂之差的绝对值为1？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．