如图，已知△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB＝，BC＝1．连结BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R．

(1)求证：△BFG∽△FEG，并求出BF的长；

(2)观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并进行解答(根据提出问题的层次和解答过程评分)．

在平面直角坐标系中，A(－1)，B(3，0)．

(1)若抛物线过A，B两点，且与y轴交于点(0，－3)，求此抛物线的顶点坐标；

(2)如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值；

(3)若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴正车轴交于点E，F，与y轴交干点C，过C作CP∥x轴交l于点P，M为此抛物线的顶点．若四边形PEMF是有一内角为的菱形，求此抛物线的解析式．

在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点．由D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F；设DE＝a，DF＝b，且实数a，b满足9a²－24ab＋16b²＝0，并有2＝256⁶；∠A使得方程x²－x·sinA＋sinA－＝0有相等的两个实数根．

(1)试求实数a，b的值；

(2)试求线段BC的长．

已知：如图，直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为(0，3)BC＝2AB，P为AD边上一动点(与点A、D不重合)，以点P为圆心作⊙P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线l，交BC边于点E．当点P运动到点P₁位置时，直线l恰好经过点B此时直线的解析式是y＝2x＋1．

(1)求BC、AP₁的长；

(2)设AP＝m，梯形PECD的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围；

(3)以点E为圆心作⊙E与x轴相切．

①探究并猜想：⊙P和⊙E有哪几种不同的位置关系？并求出AP相应的取值范围；

②当直线l把矩形ABCD分成两部分的面积之比为3∶5时，则⊙P和⊙E的位置关系如何？并请说明理由．

小刚为书房买灯．现有两种灯可供选购，其中一种是9瓦(即0.009千瓦)的节能灯，售价49元/盏；另一种是40瓦(即0.04千瓦)的白炽灯，售价18元/盏．假设两种灯的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800小时．已知小刚家所在地的电价是每千瓦时0.5元．

(1)设照明时间是x小时，请用含x的代数式分别表示用一盏节能灯的费用和用一盏白炽灯的费用；(注：费用＝灯的售价＋电费)

(2)小刚想在这两种灯中选购一盏．

①当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多？

②试用特殊值判断：

照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低？

照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低？

(3)小刚想在这两种灯中选购两盏．

假定照明时间是3000小时，使用寿命是2800小时．请你帮他设计一种费用最低的选灯方案，并说明理由．

如图1，在直角梯形ABCD中，∠D＝∠C＝，AB＝4，BC＝6，AD＝8．点P、Q同时从A点出发，分别作匀速运动，其中点P沿AB、BC向终点C运动，速度为每秒2个单位，点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单位．当这两点中有一个点到达自己的终点时，另一个点也停止运动，设这两点从出发运动了t秒．

(1)动点P与Q哪一点先到达自己的终点？此时t为何值？

(2)当0＜t＜2时，求证：以PQ为直径的圆与AD相切(如图2)；

(3)以PQ为直径的圆能否与CD相切？若有可能，求出t的值或t的取值范围；若不可能，请说明理由．

已知抛物线y＝(1－m)x²＋4x－3开口向下，与x轴交于A(x₁，0)和B(x₂，0)两点，其中x₁＜x₂．

(1)求m的取值范围；

(2)若＋＝10，求抛物线的解析式，并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线；

(3)设这条抛物线的顶点为C，延长CA交y轴于点D．在y轴上是否存在点P，使以P、O、B为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为(3，0)、(3，4)．动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连结MP．已知动点运动了x秒．

(1)P点的坐标为(________，________)；(用含x的代数式表示)

(2)试求△MPA面积的最大值，并求此时x的值；

(3)请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果．

如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c与y轴相交于点C(0，1)，x₁，x₂是方程ax²＋bx＋c＝x的两个根，且x₁＝－x₂．点A(x₁，0)在点B(x₂，0)的左边，以AB为直径的圆交y轴于C，D两点．

(1)求抛物线y＝ax²＋bx＋c的解析式；

(2)设抛物线的对称轴交x轴于E点，连结CE并延长交圆于F点，求EF的长；

(3)过D点作圆的切线交直线CB于点P，判断点P是否在抛物线上说明理由．

三角形纸片ABC，∠C＝，AB＝2BC＝12．将纸片折叠使点A总是落在BC边上，记为点D，EF是折痕，如图．

(1)当△DEF是以∠EDF为顶角的等腰三角形时，求△DCF的面积；

(2)在BC边上是否存在一点D，使以D，E，F为顶点的三角形和以D，E，B为顶点的三角形相似？若存在，求出相似比；若不存在，说明理由．