如图所示，某海域直径为30海里的暗礁区中心有一哨所A，值班人员发现有一轮船从距哨所45海里的B处驶来，哨所及时向轮船发出了危险信号，但轮船没有收到，又继续前进了15海里到达C处，此时哨所第二次发出紧急信号．(1)若轮船收到第一次危险信号后，为避免触礁，航向改变角度应至少为北偏东(90°－α)角，求sinα的值；(2)当轮船收到第二次危险信号时，为避免触礁，轮船航向改变的角度至少应为南偏东多少度？

如图，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动(不与点M重合)，点Q在半圆O上运动，且总保持PQ＝PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C．

(1)当∠QPA＝60°时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予说明．

(2)当PQ⊥AB时，△QCP的形状是________三角形．

(3)由(1)(2)得出的结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP一定是________三角形．

小红家的锅盖坏了，需要测量锅的直径(锅沿所形成的圆的直径)，而小红家只有一把长20cm的直尺根本不够长，怎么办呢？小红想了想，采取了以下办法：首先把锅平放到墙根，锅沿刚好靠到两墙(如图1)，用直尺紧贴墙面量得MA的长(如图2)，即可求锅的直径．

图（1）图（2）

(1)请你利用图1说明她这样做的理由；

(2)在现有条件下，你还能设计出另外一个可求出锅的直径的方法吗?如果能，请在图2中画出示意图，并说明理由(不必求锅的直径)．

如图，AB是半圆的直径，直线MN切半圆与C，AM⊥MN，BN⊥MN，若AM＝a，BN=b，试求半圆的半径的长．

某市有一块三条马路围成的三角形绿地(如图所示)．现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置(不写作法，保留痕迹)

已知，如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于D，AC=4，CD=1，求⊙O的半径．

已知：如图，菱形ABCD的边长为5，两条对角线相交于点O，且AO、BO的长分别是方程的两根，求m的值及菱形的内切圆O的面积．

如图，AB是⊙O直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E．

(1)由这些条件，你能得出哪些结论(要求：不标其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可)?

(2)若∠ABC为直角，其他条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的结论?并画出图形(要求：写出6个结论即可，其他要求同(1))．

为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为捕杀区，所有禽类全部捕杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有禽类强制免疫；同时，对捕杀区和免疫区的村庄、道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在捕杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米?

如下图，已知AB为⊙O直径，P为AB延长线上一动点，过点P作⊙O的切线，设切点为C

(1)请你连接AC，作∠APC的平分线，交AC于点D，测量∠CDP的度数；

(2)∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化?请你猜想并证明．