某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去．例如，可以定义：“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性质：弧长比等于半径比、面积比等于半径比的平方……．请你协助他们探索这个问题．

(1)写出判定扇形相似的一种方法：若________，则两个扇形相似；

(2)有两个圆心角相等的扇形，其中一个半径为a、弧长为m，另一个半径为2a，则它的弧长为________；

(3)如图是一完全打开的纸扇，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB为30厘米，现要做一个和它形状相同、面积是它一半的纸扇(如图)，求新做纸扇(扇形)的圆心角和半径．

在下图中，图(1)是一个扇形AOB，将其作如下划分：

第一次划分：如图(2)所示，以OA的一半OA₁为半径画弧，再作∠AOB的平分线，得到扇形的总数为6个，分别为：扇形AOB、扇形AOC、扇形COB、扇形A₁OB₁、扇形A₁OC₁、扇形C₁OB₁；

第二次划分：如图(3)所示，在扇形C₁OB₁中，按上述划分方式继续划分，可以得到扇形的总数为11个；

第三次划分：如图(4)所示；

……

依次划分下去．

(1)根据题意，完成下表：

(2)根据上表，请你判断按上述划分方式，能否得到扇形的总数为2 005个？为什么？

如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2 cm，AB＝4 cm，分别以AC、BC为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．

如图，在相距40 km的两个城镇A，B之间，有一个近似圆形的湖泊，其半径为10 km，圆心恰好位于A，B连线的中点处，现要绕过湖泊从A城到B城，假设除湖泊外，所有的地方均可行走，下面有两种行走路线，请你通过推理计算，说明哪条路线较短．

图(1)的路线：线段AC→→线段DB；

图(2)的路线：线段AE→→线段FB，其中E，F为切点．

如图，(1)、(2)、(3)、…、(n)分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCD…，点M、N分别从点B，C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．

(1)求图(1)中∠APN的度数；

(2)图(2)中，∠APN的度数是________，图(3)中∠APN的度数是________；

(3)试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系(直接写出答案)．

若⊙O的半径为R，求其内接十二边形的面积S₁₂．(用含R的代数式表示)

已知AB为⊙O的内接正十边形的一边．若AB＝a，求OA的长．(用含a的代数式表示)

如图，图(1)、(2)、(3)、…、(n)中，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连结OM、ON．

(1)求图(1)中∠MON的度数；

(2)图(2)中∠MON的度数是________，图(3)中∠MON的度数是________；

(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案)．

如图，在正五角星ABCDE中，BE与AC、AD分别交于M、N．AB＝a，求BM、BN、BE的长．

　　天象图片欣赏

　　如图是2004年5月5日2时48分到3时52分在北京拍摄的从初亏到食既的月全食过程．

　　数学问题解决

　　用数学的眼光看下图，可以认为是地球、月球投影(两个圆)的位置关系发生了从外切、相交到内切的变化；2时48分月球投影开始进入地球投影的黑影(图(2))；3时52分，这时月球投影全部进入地球投影的黑影(图(3))．

　　设照片中的地球投影如图(1)中半径为R的大圆⊙O，月球投影如图(1)中半径为r的小圆⊙P．求这段时间内圆心距OP与时间t(分)的函数关系式，并写出自变量的取值范围．