已知：如图，直线l经过点A(4，0)和B(0，4)两点，它与抛物线y＝ax²在第一象限内交于点P，又知S_△AOP＝，求a的值．

如图，二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC＝20，BC＝15，∠ACB＝90°，求这个二次函数的解析式．

如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴交于点A(x₁，0)、B(x₂，0)(x₁＜0＜x₂)，与y轴交于点C(0，－2)．若OB＝4OA，且以AB为直径的圆过C点，求此抛物线的函数关系式．

某广告公司设计一幅周长为12 m的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1 000元．设矩形一边长为x m，面积为S m²．

(1)求出S与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；

(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用；

(3)为使广告牌美观、大方，要求做出黄金矩形，请你按要求设计，并计算出可获得的设计费是多少(精确到元)．

[提示：①当矩形的长是宽与(长＋宽)的比例中项时，这样的矩形叫做黄金矩形；②≈2.236．]

某开发商对去年市场上一种商品销售数量及其销售利润情况进行了调查，发现：①销售数量y₁(万件)与时间x(月份)具有满足下表的一次函数关系：

②每一件的销售利润y₂(元)与时间x(月份)具有如图所示的关系：

请根据以上信息解答下列问题：

(1)在3月份，销售这种商品可获利润多少万元？

(2)哪一个月的销售利润最大？请说明理由．

如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8 m，宽AB为2 m．以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2 m，宽2.4 m，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．

有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20 m，拱顶距离水面4 m．

(1)在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；

(2)在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，求出将d表示为h的函数解析式；

(3)设正常水位时桥下的水深为2 m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18 m．求：水深超过多少米时，就会影响过往船只在桥下顺利航行．

近两年无锡外向型经济发展迅速，一些著名跨国公司纷纷落户无锡新区，对各类人才需求不断增加，现一公司面向社会招聘人员，要求如下：

①对象：机械制造类和规划设计类人员共150名．

②机械类人员工资为600元/月，规划设计类人员为1 000元/月．

(1)本次招聘规划设计人员不少于机械制造人员的2倍，若要使公司每月所付工资总额最少，则这两类人员各招多少名？此时最少工资总额是多少？

(2)在保证工资总额最少条件下，因这两类人员表现出色，公司领导决定另用20万元奖励他们，其中机械人员人均奖金不得超过规划人员的人均奖金，但不低于200元，试问规划设计类人员的人均奖金的取值范围．

如图(1)，桌面内，直线l上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中较小直角边的长为6 cm，较小锐角的度数为30°．

(1)将△ECD沿直线AC翻折到如图(2)的位置，与AB相交于点F，请证明：AF＝；

(2)将△ECD沿直线l向左平移到(3)的位置，使E点落在AB上，你可以求出平移的距离，试试看；

(3)将△ECD绕点C逆时针方向旋转到图(4)的位置，使E点落在AB上，请求出旋转角的度数．

如图，⊙O中半径OA⊥BO，C为OB上一点，AC的延长线交⊙O于D，过D作切线交OB的延长线于E，

(1)求证：DE＝CE；

(2)求证：AC×CD＝2OC×CE；

(3)若OA、OC是方程x²－(m＋3)x＋4m－4＝0的两根，且AC＝，求m的值．