如图，在△ABC中，AB＝BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作□APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC＝∠AEP＝α(0°＜α＜90°)．

(1)求证：∠EAP＝∠EPA；

(2)□APCD是否为矩形？请说明理由；

(3)如图，F为BC中点，连接FP，将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN(点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点)．猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．

如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．

(1)请完成如下操作：以点O为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连结AD、CD．

(2)请在(1)的基础上完成下列各小题：

①写出下列点的坐标：C________、D________；

②⊙D的半径＝________(结果保留根号)；

③若E(7，0)，试判断直线EC与⊙D的位置关系，并说明你的理由．

(1)求P点坐标及a的值；

(2)图(1)，抛物线C₂与抛物线C₁关于x轴对称，将抛物线C₂向右平移，平移后的抛物线记为C₃，C₃的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C₃的解析式；

(3)图(2)，点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C₁绕点Q旋转180°后得到抛物线

C₄．抛物线C₄的顶点为N，与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边)，当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．

如图，直线l₁：y＝kx＋b平行于直线y＝x－1，且与直线l₂∶y＝mx＋相交于点P(－1，0)．

(1)求直线l₁、l₂的解析式；

(2)直线l₁与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l₂上的点B₁处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l₁上的点A₁处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l₂上的点B₂处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l₁上的点A₂处后，仍沿平行于x轴的方向运动，……

照此规律运动，动点C依次经过点B₁，A₁，B₂，A₁，B₃，A₃，…，B_n，A_n，…

①求点B₁，B₂，A₁，A₂的坐标；

②请你通过归纳得出点A_n、B_n的坐标；并求当动点C到达A_n处时，运动的总路径的长．

已知：抛物线y＝(k－1)x²＋2kx＋k－2与x轴有两个不同的交点．

(1)求k的取值范围；

(2)当k为整数，且关于x的方程3x＝kx－1的解是负数时，求抛物线的解析式；

(3)在(2)的条件下，若在抛物线和x轴所围成的封闭图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在x轴上，其对边的两个端点在抛物线上，试求出这个最大正方形的边长．

如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝3，点P是边BC上的动点(点P不与点B，点C重合)，过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y．

(1)求∠CQP的度数；

(2)当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？

(3)①求y与x之间的函数关系式；

②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？

如图，P为正方形ABCD的对称中心，A(0，3)，B(1，0)，直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t．求：

(1)C的坐标为________；

(2)当t为何值时，△ANO与△DMR相似？

(3)△HCR面积S与t的函数关系式；并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值及S的最大值．

已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为12，BC边上的高为8，∠B和∠C都为锐角，M为AB上一动点(点M与点A、B不重合)，过点M作MN∥BC交AC于点N，在△AMN中，设MN的长为x，MN上的高为h．

(1)请你用x的代数式表示h；

(2)将△AMN沿MN折叠，使△AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为A₁，△A₁MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少？