如图，已知△ABC内接于⊙O，直径CD⊥AB，垂足为E．弦BF交CD于点M，交AC于点N，且BF＝AC，连结AD、AM．

求证：(1)△ACM≌△BCM；

(2)AD·BE＝DE·BC；

(3)BM²＝MN·MF．

如图，△ABC内接于⊙O，高BE、AD交于点P．延长BD、CE，分别交⊙O于点M、N．求证：

(1)PE＝ME，PD＝ND．

(2)点C为△PMN的外心．

如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．

(1)P是上一点(不与C，D重合)，求证：∠CPD＝∠COB；

(2)点在劣弧上(不与C，D重合)时，∠与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．

已知，如图，AB是⊙O的一条弦，点C为的中点，CD是⊙O的直径，过C点的直线l交AB所在直线于点E，交⊙O于点F．

(1)判定图中∠CEB与∠FDC的数量关系，并写出结论；

(2)直线l绕C点旋转(与CD不重合)，在旋转过程中，E点、F点的位置也随之变化，请在下面两个备用图中分别画出l在不同位置时，使(1)的结论仍然成立的图形，标上相应字母，选其中一个图形给予证明．

如图，已知半圆O的直径AB＝4，将一个三角板的直角顶点固定在圆心O上，当三角板绕着点O转动时，三角板的两条直角边与半圆圆周分别交于C、D两点，连结AD、BC交于点E．

(1)求证：△ACE∽△BDE；

(2)求证：BD＝DE恒成立；

(3)设BD＝x，求△AEC的面积y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

如图①，空投物资用的某种降落伞的轴截面如图②所示，△ABG是等边三角形，C、D是以AB为直径的半圆O的两个三等分点，CG、DG分别交AB于点E、F．试判断点E、F分别位于所在线段的什么位置？并证明你的结论(证一种情况即可)．

如图，⊙O与相交于A、B两点，点O在上，的弦OC交AB于点D．

(1)求证：OA²＝OC·OD；

(2)如果AC＋BC＝，⊙O的半径为r，求证：AB＝．

已知：如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE＝DB，连接AE、CD．

(1)求证：△AGE≌△DAC；

(2)过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连接AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你的结论．

将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如下右图的形式，使点B、F、C、D在同一条直线上．

(1)求证：AB⊥ED；

(2)若PB＝BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．

如图，已知：⊙O₁与⊙O₂是等圆，它们相交于A、B两点，O₂在⊙O₁上，AC是⊙O₂的直径，直线CB交⊙O₁于D，E为AB延长线上一点，连接DE．

(1)请你连接AD，证明：AD是⊙O₁的直径；

(2)若∠E＝60°，求证：DE是⊙O₁的切线．