如图，AB是⊙O直径，直线l交⊙O于C₁、C₂，AD⊥l，垂足为D．

(1)求证：AC₁·AC₂＝AB·AD．

(2)若将直线l向上平移(如图)，交⊙O于C₁、C₂，使弦C₁C₂与直径AB相交(交点不与A、B重合)，其他条件不变，请你猜想AC₁、AC₂、AB、AD之间的关系，并说明理由．

(3)若将直线l平移到与⊙O相切时，切点为C，其他条件不变，请你在下图上画出变化后的图形，标好相应字母并猜想AC、AB、AD的关系是什么(只写出关系，不加以说明)．

如图，已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC．

(1)在图(1)中，能否在AB上确定一点E，使得AC²＝AE·AB，为什么？

(2)在图(2)中，在条件(1)的结论下延长EC到P，连结PB，如果PB＝PE，试判断PB和⊙O的位置关系，并说明理由．

(1)填空：

①方程x²＋2x＋1＝0的根为x₁＝________，x₂＝________，x₁＋x₂＝________，x₁·x₂＝________；

②方程x²－3x－1＝0的根为x₁＝________，x₂＝________，x₁＋x₂＝________，x₁·x₂＝________；

③方程3x²＋4x－7＝0的根为x₁＝________，x₂＝________，x₁＋x₂＝________，x₁·x₂＝________；

④方程x²＋x＋1＝0的实数根存在吗？答：________．

(2)猜想并验证：

由①、②、③、④，对于一元二次方程ax²＋bx＋c＝0，你能得出什么结论？试说明这个结论的正确性．

(3)应用结论解决问题：

已知关于x的方程x²－2(m－2)x＋m²＝0，若设它的两根为x₁、x₂，且＝56，求m的值．

已知：⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，且点O₂在⊙O₁上．

(1)如图，AD是⊙O₂的直径，连接DB并延长交⊙O₁于C，试说明：CO₂⊥AD；

(2)如图，如果AD是⊙O₂的一条弦，连接DB并延长交⊙O₁于C，那么CO₂所在直线是否与AD垂直？说明你的结论．

已知：如图，AB是⊙O的直径，BE是⊙O的切线，切点为B，点C在射线BE上移动(点C与B不重合)，过C作CD切⊙O于D点．

(1)AD与OC是否平行？请说明理由；

(2)设⊙O的半径为r，试问：当动点C在射线BE上运动到什么位置时，有AD＝？请回答并说明你的结论．

已知：△ABC中，AB＝AC，D、E在直线BC上，∠BAC＝40°，∠DAE＝110°，

(1)求证：△ADB∽△EAC；

(2)探索：当D、E在直线BC上运动时，∠DAE与∠BAC满足什么数量关系时，(1)中的结论仍然成立？(不写过程)

已知，如图所示，⊙D交y轴于A、B，交x轴于C，过C的直线：y＝－2x－8与y轴交于P．

(1)求证：PC是⊙D的切线；

(2)判断在直线PC上是否存在点E，使得S_△EOC＝4S_△CDO，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

如图所示，⊙O的半径OA＝2，点P、Q分别是线段OA和⊙O上的动点(点Q不与A重合)．且当点P、Q运动时，PQ＝PO．过点Q作⊙O的切线交OA的延长线于点C．

(1)PQ和PC有怎样的大小关系？请说明理由；

(2)△QPC能成为等边三角形吗？若有，求出此时OP的长，若不能，说明理由．

定义：若某个图形可分割成若干个都与它自己相似的图形，则称这个图形是自相似图形．

探究：(1)如图①，已知△ABC中，∠C＝90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图①中画出分割线，并说明理由．

(2)一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三角形分割为4个都与它自己相似的小三角形．我们把△DEF(图②)第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割(如图③)．

把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它们的各边中点所进行的分割，称为2阶分割(如图④)，……，依此规则操作下去，n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形(n为正整数)，设此时小三角形的面积为S_n．

①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，2＜S_n＜3？

②当n＞1，请写出一个反映S_n－1，S_n，S_n+1之间关系的等式．

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3cm，BC＝7cm，∠B＝60°，P为下底BC上一点(不与B，C重合)，连接AP，过点P作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B．

(1)求证：△ABP∽△PCE；

(2)求等腰梯形ABCD的腰长；

(3)在底边BC上是否存在一点P，使得DE∶EC＝5∶3？如果存在，求BP的长，如果不存在，请说明理由．