问题探究：能得到一个周长为12，面积为5的矩形吗？

方法一：用方程组来解决；

方法二：用反比例函数图象及直线来解决．

如图1已知：⊙O₁与⊙O₂相交于点A、B，AC切⊙O₂于点A，交⊙O₁于点C，直线EF过点B，交⊙O₁于点E，交⊙O₂于点F．

①若ED＝12，BD＝25，BF＝11，求DA和DC的长；

②求证：AD·DE＝CD·DF．

(2)当直线EF绕点B旋转交线段AC的延长线于点D时(如图2)，试问AD·DE＝CD·DF是否仍然成立？证明你的结论．

已知，如图，⊙O与⊙P相交于A、B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P于D、E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F．

(1)求证：BC是⊙P的切线；

(2)若CD＝2，CB＝2，求EF的长；

(3)若设k＝PE∶CE，是否存在实数k，使△PBD恰好是等边三角形？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

如图，AB为⊙O中的一条长为4的弦，P为⊙O上的一动点，cos∠APB＝．问是否存在以A、P、B为顶点的面积最大的三角形，试说明理由．若存在，求出这个三角形的面积．

如图，已知抛物线y＝x²，与过点A(0，8)的直线y＝kx＋b交于B(x₀，y₀)．(2≤x₀≤4)，又该直线交x轴于C．

(1)求k的取值范围．

(2)若AB∶BC＝7∶2，求直线解析式．

(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点D，使S_△AOD＝2S_△AOB，若存在，求出D点坐标；若不存在，说明理由．

(1)如图(a)，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连结AE，求证：AE∥BC；

(2)如图(b)，将(a)中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作△EDC改成相似于△ABC．请问：是否仍有AE∥BC？证明你的结论．

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3 cm，BC＝7 cm，∠B＝60°，P为下底BC上一点(不与B、C重合)，连结AP．过P点作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B．

(1)求证：△ABP∽△PCE；

(2)求等腰梯形的腰AB的长；

(3)在底边BC上是否存在一点P，使得DE∶EC＝5∶3？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．

若一个矩形的短边与长边的比值为(黄金分割数)，我们把这样的矩形叫做黄金矩形．

(1)操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD(AB＞AD)中，以短边AD为一边作正方形AEFD．

(2)探究：在(1)中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予证明；若不是，请说明理由．

(3)归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论(不需要证明)．

如图所示，在△ABC的外接圆O中，D是的中点，AD交BC于点E，连结BD．

(1)列出图中所有相似三角形；

(2)连结DC，若在上任取一点K(点A、B、C除外)，连结CK、DK、DK交BC于点F，DC²＝DF·DK是否成立？若成立，给出证明；若不成立，举例说明．