某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要的结论：一是发现抛物线y＝ax²＋2x＋3(a≠0)，当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物线y＝ax²＋2x＋3的顶点的横坐标减少，纵坐标增加，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加，纵坐标增加，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线y＝ax²＋2x＋3上．

(1)请你协助探求出当实数a变化时，抛物线y＝ax²＋2x＋3的顶点所在直线的解析式；

(2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由；

(3)在他们第二个发现的启发下，运用“一般——特殊——一般”的思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你的猜想表达出来吗？你的猜想能成立吗？若能成立，请说明理由．

已知抛物线y＝x²＋bx＋c的顶点坐标是(1，)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若直线y＝kx(k＞0)分别与抛物线交于两个不同的点A、B，与直线y＝－x＋4相交于点P，求的值；

(3)在(2)中，是否存在k的值，使A、B两点的纵坐标之和等于4？如果存在，求出k的值，如果不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l₁经过点A(－2，0)和点B(0，)，直线l₂的函数表达式为＝－x＋，l₁与l₂相交于点P．⊙C是一个动圆，圆心C在直线l₁上运动，设圆心C的横坐标是a．过点C作CM⊥x轴，垂足是点M．

(1)填空：直线l₁的函数表达式是________，交点P的坐标是________，∠FPB的度数是________；

(2)当⊙C和直线l₂相切时，请证明点P到直线CM的距离等于⊙C的半径R，并写出R＝－2时a的值．

(3)当⊙C和直线l₂不相离时，已知⊙C的半径R＝－2，记四边形NMOB的面积为S(其中点N是直线CM与l₂的交点)．S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时a的值；若不存在，请说明理由．

如下图所示，在矩形ABCD中，AB＝20 cm，BC＝4 cm，点P从A开始沿折线A－B－C－D以4 cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1 cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)．

(1)t为何值时，四边形APQD为矩形？

(2)如下图所示，如果⊙P和⊙Q的半径都是2 cm，那么t为何值时，⊙P和⊙Q外切？

已知关于x的一元二次方程－x²＋bx＋c＝0的两个实数根是m，4，其中0＜m＜4．

(1)求b，c的值(用含m的代数式表示)；

(2)设抛物线y＝－x²＋bx＋c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，如图所示，若点D的坐标为(0，－2)，且AD²＋BD²＝25，求抛物线的关系式及点C的坐标；

(3)在(2)中所得的抛物线上是否存在点P，使得PC＝PD？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)在(2)中所得的抛物线上是否存在点P，使得△PCD是等腰三角形？若存在，指出满足条件的P点的个数；若不存在，请说明理由．

阅读题．

(1)如图所示，设正方形ABCD的面积为S，它的两条对角线与一组对边所围成的两个三角形面积为S₁，S₂，则三者之间存在的等量关系为________；

(2)将第(1)问中的正方形改为矩形后，其余条件不变，则第(1)问中的等量关系是否成立？

(3)将第(1)问中的正方形改为平行四边形后，依照第(1)问写一个命题并判断真假；(不要求证明)

(4)设梯形的面积为S，梯形的两条对角线与两底边所夹的三角形面积为S₁，S₂，则三者之间有何等量关系，并证明你的结论；

(5)根据(1)至(4)你可以归纳出的结论：________．

如图(1)所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC．

(1)如果P，E，F分别是BC，AC，BD的中点．求证AB＝PE＋PF；

(2)如果P是BC上的任意一点(中点除外)，PE∥AB，PF∥DC．

如图(2)所示，那么AB＝PE＋PF这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F．

(1)求OA、OC的长；

解：

(2)求证：DF为⊙的切线；

证明：

(3)小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．

解：

已知△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点(与点A、B不重合)，Q是BC边上的动点(与点B、C不重合)．

(1)如图所示，当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；

(2)当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由．

在平面直角坐标系xOy中，已知A(4，0)、B(0，3)，P是线段AB上一动点(与点A、B不重合)，Q是线段OA上一动点(与点O、A不重合)，C为OQ的中点，

(1)求直线AB的解析式；

(2)过点C作AB的垂线，垂足为D，设OC＝x，CD＝d，写出d与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；

(3)当OQ＝3时，以OQ为直径作圆C，试判断直线AB与圆C的位置关系？

(4)当PQ不与x轴垂直时，△OPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段OQ的长的取值范围，若不可能，请说明理由．