如图，已知抛物线y＝－x²＋bx＋c过点A(4，0)、B(1，3)．

(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标．

(2)记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m，n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于x轴的对称点为F，若四边形OPAF的面积为20，求m、n的值．

如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起(点A与点E重合)，已知AC＝8 cm，BC＝6 cm，∠C＝90°，EG＝4 cm，∠EGF＝90°，O是△EFG斜边上的中点．

如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1 cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1 cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x(s)，FG的延长线交AC于H，(不考虑点P与G、F重合的情况)．

(1)当x为何值时，OP∥AC？

(2)你能不能用含x的式子来表示四边形OAHP面积呢？若能，请表示；若不能，请说明理由．

(3)是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．(参考数据：114²＝12996，115²＝13225，116²＝13456或4.4²＝19.36，4.5²＝20.25，4.6²＝21.16)

如图，一块直角三角形木板的一条直角边AB长为3米，BC为4米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求(加工损耗忽略不计)．

按下图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据．要使任意一组都在20～100(含20和100)之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：

(i)新数据都在60～100(含60和100)之间；

(ii)新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大．

(1)若y与x的关系式是，请说明：当时，这种变换满足上述两个要求；

(2)若按关系式(a＞0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式．(不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程)

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，P为BC的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2㎝/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．

(1)当t＝1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；

(2)已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．

如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，抛物线对称轴l与x轴相交于点M．

(1)求抛物线的解析式和对称轴；

(2)设点P为抛物线(x＞5)上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；

(3)连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．

平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为(0，3)、(－1，0)，将此平行四边形绕点0顺时针旋转90°，得到平行四边形．

(1)若抛物线过点C，A，，求此抛物线的解析式；

(2)求平行四边形ABOC和平行四边形重叠部分△的周长；

(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，间：点M在何处时△的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标．

设函数(k为实数)

(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图像不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个特殊函数的图像；

(2)根据所画图像，猜想出：对任意实数k，函数的图像都具有的特征，并给予证明；

(3)对任意负实数k，当x＜m时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值

孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：

(1)若测得(如图1)，求a的值；

(2)对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF＝1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；

(3)对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．