如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝AB＝1，BC＝2．将点A折叠到CD边上，记折叠后A点对应的点为P(P与D点不重合)，折痕EF只与边AD、BC相交，交点分别为E、F．过点P作PN∥BC交AB于N、交EF于M，连结PA、PE、AM，EF与PA相交于O．

(1)指出四边形PEAM的形状(不需证明)；

(2)记∠EPM＝a，△AOM、△AMN的面积分别为S₁、S₂．

①求证：＝PA²．

②设AN＝x，y＝，试求出以x为自变量的函数y的解析式，并确定y的取值范围．

已知：如图，锐角△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°；点D是上一点，过点D的切线DE交AC的延长线于点E，且DE∥BC；连结AD、BD、BE，AD的垂线AF与DC的延长线交于点F．

(1)求证：△ABD∽△ADE；

(2)记△DAF、△BAE的面积分别为S_△DAF、S_△BAE，求证：S_△DAF＞S_△BAE．

阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3＋2＝(1＋)²，善于思考的小明进行了以下探索：

设a＋b＝(m＋n)²(其中a、b、m、n均为整数)，则有a＋b＝m²＋2n²＋2mn．

∴a＝m²＋2n²，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a＋b的式子化为平方式的方法．

请我仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a＋b＝(m＋n)²，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝________，b＝________；

(2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，填空：________＋________＝(________＋________)²；

(3)若a＋4＝(m＋n)²，且a、m、n均为正整数，求a的值．

如图，将一个钝角△ABC(其中∠ABC＝120°)绕点B顺时针旋转得△A₁BC₁，使得C点落在AB的延长线上的点C₁处，连结AA₁．

(1)写出旋转角的度数；

(2)求证：∠A₁AC＝∠C₁．

如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝1个单位长度．把Rt△OAB沿x轴正方向平移1个单位长度后得△AA₁B．

(1)求以A为顶点，且经过点B₁的抛物线的解析式；

(2)若(1)中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标．

某校为庆祝国庆节举办游园活动，小军来到摸球兑奖活动场地，李老师对小军说：“这里有A、B两个盒子，里面都装有一些乒乓球，你只能选择在其中一只盒子中摸球．”获将规则如下：在A盒中有白色乒乓球4个，红色乒乓球2个，一人只能摸一次且一次摸出一个球，若为红球则可获得玩具熊一个，否则不得奖；在B盒中有白色乒乓球2个，红色乒乓球2个，一人只能摸一次且一次摸出两个球，若两球均为红球则可获得玩具熊一个，否则不得奖．请问小军在哪只盒子内摸球获得玩具熊的机会更大？说明你的理由．

如图，在鱼塘两侧有两棵树A、B，小华要测量此两树之间的距离．他在距A树30 m的C处测得∠ACB＝30°，又在B处测得∠ABC＝120°．求A、B两树之间的距离(结果精确到0.1 m)(参考数据：≈1.414，≈1.732)

如图，在正方形ABC₁D₁中，AB＝1．连接AC₁，以AC₁为边作第二个正方形AC₁C₂D₂；连接AC₂，以AC₂为边作第三个正方形AC₂C₃D₃．

(1)求第二个正方形AC₁C₂D₂和第三个正方形的边长AC₂C₃D₃；

(2)请直接写出按此规律所作的第7个正方形的边长．

八年级学生到距离学校15千米的农科所参观，一部分学生骑自行车先走，过了40分钟后，其余同学乘汽车出发，结果两者同时到达．若汽车的速度是骑自行车同学速度的3倍，求骑自行车同学的速度．

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．

(1)求作：△ABC的一条中位线，与AB交于D点，与BC交于E点．(保留作图痕迹，不写作法)

(2)若AC＝6，AB＝10，连结CD，则DE＝________，CD＝________．