如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．

(1)求证：OE＝OF

(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；

(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

阅读材料：求值：1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2²⁰¹³

解：设S＝1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2²⁰¹³，将等式两边同时乘以2得：2S＝2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2²⁰¹³＋2²⁰¹⁴

将下式减去上式得2S－S＝2²⁰¹⁴－1

即S＝1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…2²⁰¹³＝2²⁰¹⁴－1

请你仿照此法计算：

(1)1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2¹⁰

(2)1＋3＋3²＋3³＋3⁴＋…3ⁿ(其中n为正整数)

国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航，如图1．在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2，请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度．(结果保留整数，参考数值：)

某班在一次班会课上，就“遇见路人摔倒后如何处理”的主题进行讨论，并对全班50名学生的处理方式进行统计，得出相关统计表和统计图，请共计统计表图所提供的信息回答下列问题：

(1)统计表中的m＝________，n＝________．

(2)补全频数分布直方图．

(3)若该校共有2000名学生，请据此估计该校学生采取“马上救助”方式的学生有多少人？

为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准量部分的水价为1.5元/吨，超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨．该市小明家5月份用水12吨，交水费20元．请问：该市规定的月用水标准量是多少吨？

如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请按要求完成下列操作：先将△ABC绕A点逆时针旋转90°得到△A₁B₁C₁，再将△A₁B₁C₁沿直线B₁C₁作轴反射得到△A₂B₂C₂．

先化简，再求值：，其中

如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．

(1)证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE．

(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；

(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，∠EFD＝∠BCD，并说明理由．

某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？

如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，

(1)求证：AC²＝AB·AD；

(2)求证：CE∥AD；

(3)若AD＝4，AB＝6，求的值．