如图，⊙O₁与⊙O₂外切于点P，外公切线AB切⊙O₁于点A，切⊙O₂于点B，

(1)求证：AP⊥BP；

(2)若⊙O₁与⊙O₂的半径分别为r和R，求证：；

(3)延长AP交⊙O₂于C，连结BC，若r∶R＝2∶3，求tan∠C的值；

电视台为某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧．经调查，播放甲连续剧平均每集有收视观众20万人次，播放乙连续剧平均每集有收视观众15万人次，公司要求电视台每周共播放7集．

(1)设一周内甲连续剧播x集，甲、乙两部连续剧的收视观众的人次的总和为y万人次，求y关于x的函数关系式．

(2)已知电视台每周只能为该公司提供不超过300分钟的播放时间，并且播放甲连续剧每集需50分钟，播放乙连续剧每集需35分钟，请你用所学知识求电视台每周应播放甲、乙两部连续剧各多少集，才能使得每周收看甲、乙连续剧的观众的人次总和最大，并求出这个最大值．

解：

已知：如图，直线PA交⊙O于A、E两点，PA的垂线DC切⊙O于点C，过A点作⊙O的直径AB．

(1)求证：AC平分Ð DAB；

(2)若DC＝4，DA＝2，求⊙O的直径．

证明：

6月以来，我省普降大雨，时有山体滑坡灾害发生．北峰小学教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示：AF∥BC，斜坡AB长30米，坡角Ð ABC＝65°．为了防止滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可以确保山体不滑坡．

(1)求坡顶与地面的距离AD等于多少米？(精确到0.1米)

(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚B不动，坡顶A沿AF削进到E点处，求AE至少是多少米？(精确到0.1米)

解：

小明和小亮进行百米赛跑，小明比小亮跑得快，如果两人同时起跑，小明肯定赢，现在小明让小亮先跑若干米，两人的路程y(米)分别与小明追赶时间x(秒)的函数关系如图所示．

⑴小明让小亮先跑了多少米？

⑵分别求出表示小明、小亮的路程与时间的函数关系式．

⑶谁将赢得这场比赛？请说明理由．

集市上有一个人在设摊“摸彩”，只见他手拿一个黑色的袋子，内装大小、形状、质量完全相同的白球20只，且每一个球上都写有号码(1－20号)和1只红球，规定：每次只摸一只球．摸前交1元钱且在1－20内写一个号码，摸到红球奖5元，摸到号码数与你写的号码相同奖10元．

(1)你认为该游戏对“摸彩”者有利吗？说明你的理由．

(2)若一个“摸彩”者多次摸奖后，他平均每次将获利或损失多少元？

小刚为书房买灯，现有两种灯可供选购，其中一种是9瓦(即0.009千瓦)的节能灯，售价49元/盏；另一种是40瓦(即0.04千瓦)的白炽灯，售价为18元/盏．假设两种灯的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800小时，已知小刚家所在地的电价是每千瓦0.5元．

⑴设照明时间是x小时，请用含x的代数式分别表示用一盏节能灯的费用和用一盏白炽灯的费用(注：费用＝灯的售价＋电费)

⑵小刚想在这两种灯中选购一盏

①当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多；

②试用特殊值推断

照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低；

照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低；

⑶小刚想在这两种灯中选购两盏

假定照明时间是3000小时，使用寿命都是2800小时，请你帮他设计费用最低的选灯方案，并说明理由．

已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连结DB、DE、OC．

⑴从图中找出一对相似三角形(不添加任何字母和辅助线)，并证明你的结论；

⑵若AD＝2，AE＝1，求CD的长．

某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请回答以下问题：

(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

(2)设销售单价定为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关析式；(不必写出x的取值范围)

(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？