如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，BD为斜边AC上的中线，将△ABD绕点D顺时针旋转α(0°＜α＜180°)，得到△EFD，点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，连接BE、CF．

(1)判断BE与CF的位置、数量关系，并说明理由；

(2)若连接BF、CE，请直接写出在旋转过程中四边形BEFC能形成哪些特殊四边形；

(3)如图2，将△ABC中AB＝BC改成AB≠BC时，其他条件不变，直接写出α为多少度时(1)中的两个结论同时成立．

如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒(t≥0)．

(1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；

(2)在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

(3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90° ，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图．

(1)若BD是AC的中线，求的值；

(2)若BD是∠ABC的角平分线，求的值；

(3)结合(1)、(2)，试推断的取值范围(直接写出结论，不必证明)，并探究的值能小于吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，说明理由．

如图所示，在平面直角坐标系X0Y中，正方形OABC的边长为2 cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y＝ax²＋bx＋c经过点A、B和D(4，)．

(1)求抛物线的表达式．

(2)如果点P由点A出发沿AB边以2 cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设S＝PQ²(cm²)．

①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；

②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．

(3)在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．

已知抛物线y＝ax²－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

(1)求A、B的坐标；

(2)过点D作DH丄y轴于点H，若DH＝HC，求a的值和直线CD的解析式；

(3)在第(2)小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，设抛物线C₁：y＝a(x＋1)²－5，C₂：y＝－a(x－1)²＋5，C₁与C₂的交点为A，B，点A的坐标是(2，4)，点B的横坐标是－2．

(1)求a的值及点B的坐标；

(2)点D在线段AB上，过D作x轴的垂线，垂足为点H，在DH的右侧作正三角形DHG．过C₂顶点M的直线记为l，且l与x轴交于点N．

①若l过△DHG的顶点G，点D的坐标为(1，2)，求点N的横坐标；

②若l与△DHG的边DG相交，求点N的横坐标的取值范围．

(注：本卷中许多问题解法不唯一，请老师根据评分标准酌情给分)

已知：抛物线经过坐标原点．

(1)求抛物线的解析式和顶点B的坐标；

(2)设点A是抛物线与x轴的另一个交点，试在y轴上确定一点P，使PA＋PB最短，并求出点P的坐标；

(3)过点A作AC∥BP交y轴于点C，求到直线AP、AC、CP距离相等的点的坐标．

已知二次函数的图象经过点(1，0)，和(－3，0)，反比例函数(x＞0)的图象经过点(1，2)．

(1)求这两个二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这两个函数的图象；

(2)若反比例函数(x＞0)的图象与二次函数)的图象在第一象限内交于点A(x₀，y₀)，x₀落在两个相邻的正整数之间．请你观察图象写出这两个相邻的正整数；

(3)若反比例函数(k＞0，x＞0)的图象与二次函数的图象在第一象限内的交点为A，点A的横坐标x₀满足2＜x₀＜3，试求实数k的取值范围．

已知，如图一条抛物线的对称轴是直线x＝，经过点(1，－3)、(3，－2)，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．D、E分别是边AC、BC上的两个动点(不与A、B重合)，且保持DE∥AB．以DE为边向上作正方形DEFG．

(1)求二次函数的解析式．

(2)试判断△ABC的形状，并说明理由．

某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为y＝－x＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w_内(元)(利润＝销售额－成本－广告费)．

若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件(a为常数，10≤a≤40)，当月销量为x(件)时，每月还需缴纳x²元的附加费，设月利润为w_外(元)(利润＝销售额－成本－附加费)．

(1)当x＝1000时，y＝________元/件，w_内＝________元；

(2)求出w_外与x间的函数关系式(用含a的式子表示，不必写x的取值范围)；

(3)当x为何值时，在国内销售的月利润最大？

(4)如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析a的取值，帮公司决策选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？