某课题小组对课本的习题进行了如下探索，请逐步思考并解答：

(1)(人教版教材习题24.4的第2题)如下图，两个大小一样的传送轮连接着一条传送带，两个传动轮中心的距离是10 m，求这条传送带的长________．

(2)改变图形的数量；

如下图、将传动轮增加到3个，每个传动轮的直径是3 m，每两个传动轮中心的距离是10 m，求这条传送带的长________．

(3)改变动态关系，将静态问题升华为动态问题：

如下图，一个半径为1 cm的⊙P沿边长为2πcm的等边三角形△ABC的外沿作无滑动滚动一周，求圆心P经过的路径长？⊙P自转了多少周？

(4)拓展与应用

如下图，一个半径为1 cm的⊙P沿半径为3 cm的⊙O外沿作无滑动滚动一周，则⊙P自转了多少周？

如图(1)，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC＝45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．

(1)证明：B、C、E三点共线；

(2)若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN＝OM；

(3)将△DCE绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜90°)后，记为△D₁CE₁(图2)，若M₁是线段BE₁的中点，N₁是线段AD₁的中点，M₁N₁＝OM₁是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．

已知关于x的二次函数y＝ax²＋bx＋c(a＞0)的图象经过点C(0，1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是(1，0)

(1)求c的值；

(2)求a的取值范围；

(3)该二次函数的图象与直线y＝1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S₁，△PAB的面积为S₂，当0＜a＜1时，求证：S₁－S₂为常数，并求出该常数．

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，点A(10，0)和点B(2，2)，在线段OA上，点P从点O向点A运动，同时点Q从点A向点O运动，运动过程中保持AQ＝2OP，当P、Q重合时同时停止运动，过点Q作x轴的垂线，交直线AB于点M，延长QM到点D，使MD＝MQ，以QD为对角线作正方形QCDE(正方形QCDE岁点Q运动)．

(1)求这条抛物线的函数表达式；

(2)设正方形QCDE的面积为S，P点坐标(m，0)求S与m之间的函数关系式；

(3)过点P作x轴的垂线，交抛物线于点N，延长PN到点G，使NG＝PN，以PG为对角线作正方形PFGH(正方形PFGH随点P运动)，当点P运动到点(2，0)时，如图2，正方形PFGH的边GP和正方形QCDE的边EQ落在同一条直线上．

①则此时两个正方形中在直线AB下方的阴影部分面积的和是多少？

②若点P继续向点A运动，还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况，请直接写出每种情况下点P的坐标，不必说明理由．

在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠DOC＝α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△O(0°＜旋转角＜90°)连接A、B，A与B相交于点M．

(1)当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想A与B的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；

(2)当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，已知AC＝BD，请猜想此时A与B的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；

(3)当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，AD∥BC，此时(1)A与B的数量关系是否成立？∠AMB与α的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论．

探究问题：

(1)方法感悟：

如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF，求证DE＋BF＝EF．

感悟解题方法，并完成下列填空：

将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，

∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，

因此，点G，B，F在同一条直线上．

∵∠EAF＝45°∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．

∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝45°．

即∠GAF＝∠________．

又AG＝AE，AF＝AF

∴△GAF≌________．

∴________＝EF，故DE＋BF＝EF．

(2)方法迁移：

如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．

(3)问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF＝∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE＋BF＝EF．请直接写出你的猜想(不必说明理由)．

如图，在平面直角坐标系中，点A(10，0)，以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF．

(1)当∠AOB＝30°时，求弧AB的长度；

(2)当DE＝8时，求线段EF的长；

(3)在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y＝ax²＋bx＋c(a＜0)过矩形顶点B、C．

(1)当n＝1时，如果a＝－1，试求b的值；

(2)当n＝2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；

(3)将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O．

①试求当n＝3时a的值；

②直接写出a关于n的关系式．

在平面直角坐标系XOY中，直线l₁过点A(1，0)且与y轴平行，直线l₂过点B(0，2)且与x轴平行，直线l₁与直线l₂相交于点P．点E为直线l₂上一点，反比例函数y＝(k＞0)的图象过点E与直线l₁相交于点F．

(1)若点E与点P重合，求k的值；

(2)连接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；

(3)是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系XOY中，一次函数y＝x＋3的图象是直线l₁，l₁与x轴、y轴分别相交于A、B两点．直线l₂过点C(a，0)且与直线l1垂直，其中a＞0．点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位．

(1)写出A点的坐标和AB的长；

(2)当点P、Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l₂、y轴都相切，求此时a的值．