如图，OB是矩形OABC的对角线，抛物线y＝－x²＋x＋6经过B、C两点．

(1)求点B的坐标；

(2)D、E分别是OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，过D、E的直线交x轴于F，试说明OE⊥DF；

(3)若点M是(2)中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

阅读与证明：

如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，且∠EAF＝45°，求证：BF＋DE＝EF．

分析：证明一条线段等于另两条线段的和，常用“截长法”或“补短法”，将线段BF、DE放在同一直线上，构造出一条与BF＋DE相等的线段．如图延长ED至点，使D＝BF，连接A，易证△ABF≌△AD，进一步证明△AEF≌△AE，即可得结论．

(1)请你将下面的证明过程补充完整．

证明：延长ED至，使D＝BF，

∵四边形ABCD是正方形

∴AB＝AD，∠ABF＝∠AD＝90°，

∴△ABF≌△AD(SAS)

应用与拓展：如图建立平面直角坐标系，使顶点A与坐标原点O重合，边OB、OD分别在x轴、y轴的正半轴上．

(2)设正方形边长OB为30，当E为CD中点时，试问F为BC的几等分点？并求此时F点的坐标；

(3)设正方形边长OB为30，当EF最短时，直接写出直线EF的解析式：________．

已知如图，二次函数y＝ax²＋2ax－3a(a≠0)图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点(B在A点右侧)，点H、B关于直线l：y＝＋对称．

(1)求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；

(2)求二次函数解析式；

(3)过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN＋NM＋MK和的最小值．

(1)阅读理解

先观察和计算，并用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“＝”填空：4＋9________2，

4＋4________2，2＋3________2．请猜想：当a＞0，b＞0，则a＋b________．

如∵展开∴6＋5．

请你给出猜想的一个相仿的说明过程．

(2)知识应用

①如图⊙O中，⊙O的半径为5，点P为⊙O内一个定点，OP＝2，过点P作两条互相垂直的弦，即AC⊥BD，作ON⊥BD，OM⊥AC，垂足为M、N，求OM²＋ON²的值．

②在上述基础上，连接AB、BC、CD、DA，利用①中的结论，探求四边形ABCD面积的最大值．

如图，梯形OABC中，CB∥OA，O为坐标原点，B(2，4)，C(0，4)，tan∠BAO＝2，动点Q从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段OA运动，到点A停止，过点Q作OP⊥x轴交折线C－B－A于点P，以PQ为一边向左作正方形PQRS，设运动时间为t(秒)，正方形PQRS与梯形OABC重叠的面积为S(平方单位)．

(1)求点A的坐标．

(2)求S与t的函数关系式．

(3)求(2)中的S的最大值．

如图，抛物线y＝ax²＋bx经过点A(4，0)，B(2，2)．连接OB，AB．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)求证：△OAB是等腰直角三角形；

(3)将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△O，写出的中点P的坐标．试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由．

有一座抛物线形拱桥，桥的跨度为40米，桥面的最大高度为8米，将它的示意图放入如图所示的平面直角坐标系中．

(1)求抛物线的解析式；

(2)现计划在桥面上铺台阶，台阶的高度均为0.2米，请计算从底部开始数的第31级台阶的水平宽度(结果精确到0.01)．[参考数据：≈3.162]

如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线y＝ax²＋bx＋c与y轴交于点D，与直线y＝x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长．

(3)过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由．

已知抛物线的顶点坐标为(，－)，且经过点C(1，0)，若此抛物线与x轴的另一交点为点B，与y轴的交点为点A，设P、Q分别为AB、OB边上的动点，它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为每秒1个单位，设P、Q移动时间为t(0≤t≤4)

(1)求此抛物线的解析式；并求出P点的坐标(用t表示)；

(2)当△OPQ面积最大时求△OBP的面积；

(3)当t为何值时，△OPQ为直角三角形？

(4)△OPQ是否可能为等边三角形？若可能请求出t的值；若不可能请说明理由，并改变点Q的运动速度，使△OPQ为等边三角形，求出此时Q点运动的速度和此时t的值．

如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(0，2)，点D在x轴的负半轴上，∠ODB＝30°，OE为△BOD的中线，过B、E两点的抛物线y＝ax²－x＋c与x轴相交于A、F两点(A在F的右侧)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是上述抛物线上一动点，若由点D、O、E、P构成四边形为梯形，则这样的点P有几个？试求出其中两个点P的坐标；

(3)等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长．