如图1，在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，点B在x正半轴上，且∠ABO＝30°．动点P在线段AB上从点A向点B以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒．点M、N在x轴上，且△PMN是等边三角形．

(1)求点B的坐标；

(2)求等边△PMN的边长(用的代数式表示)，并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时的值；

(3)如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时，S与的函数关系式，并求出S的最大值．

如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG．

(1)试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论．

(2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后(旋转角度大于0°，小于或等于360°)，如图②，通过观察或测量等方法判断(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．

(3)若BC＝DE＝2，在(2)的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．

小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡底跑到坡顶再原路返回坡底．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍．设两人出发x min后距出发点的距离为y m．图中折线表示小亮在整个训练中y与x的函数关系，其中A点在x轴上，M点坐标为(2，0)．

(1)小亮下坡的速度是________m/min；＝________；

(2)求出AB所在直线的函数关系式；

(3)如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？

如图，在一次数学课外实践活动中，小刚在教学楼一楼窗口B处用距教室地面高1.5 m的测角仪，测得教学楼前一棵树的树梢F的仰角为45°；小丽在教学楼5楼与小刚对应的窗口A处用同样高度的测角仪，测得这棵树的树梢F的俯角为30°；小明用皮尺测得这棵树底部到小刚所在的教学楼窗户底部之间的水平距离CD为8 m，测得一楼教室地面比教室外地面高出0.4 m．根据他们测量的有关数据，解答下列问题：

(1)求这棵树DF的高度；

(2)求这座教学楼每个楼层之间的高度．(计算结果精确到0.1 m；参考数据：≈1.41，≈1.73)

如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，已知∠D＝30°．

(1)求∠A的度数；

(2)若点F在⊙O上，CF⊥AB，垂足为E，CF＝，求图中阴影部分的面积．

△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2 cm．长为1 cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1 cm/s的速度向点B运动(运动前点M与点A重合)．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为s．

(1)若△AMP的面积为y，写出y与的函数关系式(写出自变量的取值范围)；

(2)线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时的值；若不可能，说明理由；

(3)为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本)．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x(元)取整数，用y(元)表示该店日净收入．(日净收入＝每天的销售额－套餐成本－每天固定支出)

(1)求y与x的函数关系式；

(2)若每份套餐售价不超过10元，要使该店日净收入不少于800元，那么每份售价最少不低于多少元？

(3)该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日净收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日净收入为多少？

如果一个点能与另外两个点能构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如：矩形ABCD中，点C与A，B两点可构成直角三角形ABC，则称点C为A，B两点的勾股点．同样，点D也是A，B两点的勾股点．

(1)如图1，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，请在边CD上作出A，B两点的勾股点(点C和点D除外)(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．

(2)矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，直接写出边CD上A，B两点的勾股点的个数．

(3)如图2，矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝4cm，DM＝8cm，AN＝5cm．动点P从D点出发沿着DC方向以1 cm/s的速度向右移动，过点P的直线l平行于BC，当点P运动到点M时停止运动．设运动时间为t(s)，点H为M，N两点的勾股点，且点H在直线l上．

①当t＝4时，求PH的长．

②探究满足条件的点H的个数(直接写出点H的个数及相应t的取值范围，不必证明)．

如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，1)、B(3，5)，以AB为边作如图所示的正方形ABCD，顶点在坐标原点的抛物线恰好经过点D，P为抛物线上的一动点．

(1)直接写出点D的坐标；

(2)求抛物线的解析式；

(3)求点P到点A的距离与点P到x轴的距离之差；

(4)当点P位于何处时，△APB的周长有最小值，并求出△APB的周长的最小值．

如图，某汽车的底盘所在直线恰好经过两轮胎的圆心，两轮的半径均为60 cm，两轮胎的圆心距为260 cm(即PQ＝260 cm)，前轮圆心P到汽车底盘最前端点M的距离为80 cm，现汽车要驶过一个高为80 cm的台阶(即OA＝80 cm)，若直接行驶会“碰伤”汽车．

(1)为保证汽车前轮安全通过，小明准备建造一个斜坡AB(如图所示)，那么小明建造的斜坡的坡角α最大为多少度？(精确到0.1度)

(2)在(1)的条件下，汽车能否安全通过此改造后的台阶(即汽车底盘不被台阶刮到)？并说明理由．