如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，BC∥AD，∠BAD＋∠CDA＝90°，AD在x轴上，点A的坐标(－1，0)，点B的坐标(0，2)，BC＝OB．

(1)求过点A、B、C的抛物线的解析式；

(2)动点E从点B(不包括点B)出发，沿BC运动到点C停止，在运动过程中，过点E作EF⊥AD于点F，将四边形ABEF沿直线EF折叠，得到四边形A₁B₁EF，点A、B的对应点分别是点A₁、B₁，设四边形A₁B₁EF与梯形ABCD重合部分的面积为S，F点的坐标是(x，0)．

①连接CF，当△CDF是直角三角形时，点F的坐标为________；(直接写出答案)

②求S与x的函数关系式；

③在点E运动过程中，S的值是否能超过梯形ABCD面积的一半，若能，求出相应的x的取值范围；若不能，请说明理由．

如图，已知抛物线y＝x²－ax＋a²－4a－4与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点D(0，8)，直线DC平行于x轴，交抛物线于另一点C，动点P以每秒2个单位长度的速度从C点出发，沿C→D运动，同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B运动，连接PQ、CB，设点P运动的时间为t秒．

(1)求a的值；

(2)当四边形ODPQ为矩形时，求这个矩形的面积；

(3)当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值．

(4)当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？(直接写出答案)

如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝x²＋bx＋c经过B点，且顶点在直线x＝上．

(1)求抛物线对应的函数关系式；

(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，连结BD，已知在对称轴上存在一点P，使得△PBD的周长最小．请求出点P的坐标．

(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(与点O、B不重合)，过点M作MN∥BD交x轴于点N，连结PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时M点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(－4，0)，点B的坐标是(0，b)(b＞0)．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为(点不在y轴上)，连接P，A，C．设点P的横坐标为a．

(1)当b＝3时，

①求直线AB的解析式；

②若点的坐标是(－1，m)，求m的值；

(2)若点P在第一象限，记直线AB与C的交点为D．当D∶DC＝1∶3时，求a的值；

(3)是否同时存在a，b，使△CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线y＝ax²＋c(a＞0)经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A(－2，0)，B(－1，－3)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；

(3)在第(2)问的结论下，抛物线上的点P使S_△PAD＝4S_△ABM成立，求点P的坐标．

在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，BO＝4，分别以OA、OB边所在的直线建立平面直角坐标系，D点为x轴正半轴上的一点，以OD为一边在第一象限内作等边△ODE．

(1)如图1，当E点恰好落在线段AB上，求E点坐标；

(2)在(1)问的条件下，将△ODE在线段OB上向右平移，如图2，线段EF与线段O始终相等吗？请证明你的结论；

(3)若点D从原点出发沿x轴正方向移动，设点D到原点的距离为x，△ODE与△AOB重叠部分的面积为y．当2＜x＜4时，请直接写出y与x的函数关系式．

一位同学拿了两块45°三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝4．

(1)如图1，两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为________．

(2)将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分

的面积为________．

(3)如果将△MNK绕M旋转到不同于图1和图2的图形，如图3，请你猜想此时重叠部分的面积为________．请证明你的结论．

如图，抛物线与x轴交于A(x₁，0)，B(x₂，0)两点，且x₁＞x₂，与y轴交于点C(0，4)，其中x₁，x₂是方程x²－2x－8＝0的两个根．

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；

(3)探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的啦标为(－1，0)，点B在抛物线y＝ax²＋ax－2上，

(1)点A的坐标为________，点B的坐标为________；抛物线的解析式为________；

(2)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使△ACP是以AC为直角边向直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)若点D是(1)中所求抛物线在第三象限内的一个动点，连结BD、CD．当△BCD的面积最大时，求点D的坐标．

(4)若点P是(1)中所求抛物线上一个动点，以线段AB、BP为邻边作平形四边形ABPQ．当点Q落在x轴上时，直接写出点P的坐标．

如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A(1，－1)，B(3，－1)．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设P点移动的时间为秒，△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．

(1)求经过O、A、B三点的抛物线解析式；

(2)求S与t的函数关系式；

(3)将△OPQ绕着点P逆时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点为O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．