如图，已知抛物线与直线y＝2x交于点O(0，0)，A(a，12)，点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作x轴、y轴的平行线与直线OA交于点C，E．

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)若点C为OA的中点，求BC的长；

(3)以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为(m，n)，求出m，n之间的关系式．

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0，4)，点B的坐标为(4，0)，点C的坐标为(－4，0)，点P在射线AB上运动，连接CP与y轴交于点D，连接BD，过P，D，B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连接EF，BF

(1)求直线AB的函数解析式；

(2)当点P在线段AB(不包括A，B两点)上时

①求证：∠BDE＝∠ADP

②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；

(3)请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．

(1)如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝120°，∠C＝75°，BD平分∠ABC，求证：BD是梯形ABCD的和谐线；

(2)如图2，在12×16的网格图上(每个小正方形的边长为1)有一个扇形BAC，点A，B，C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找出一个点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；

(3)四边形ABCD中，AB＝AD＝BC，∠BAD＝90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．

在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A(0，2)、C(6，0)作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．

(1)当点P移动到点D时，求出此时t的值；

(2)当t为何值时，△PQB为直角三角形；

(3)已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为y＝－(x－t)²＋t(t＞0)．问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

(1)如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B、C)，连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC＝∠ACN．

(2)如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其它条件不变，(1)中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．

(3)如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点(不含端点B、C)，连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．

抛物线y＝(x－3)(x＋1)与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，点D为顶点．

(1)求点B及点D的坐标；

(2)连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．

①若线段BD上一点P，使∠DCP＝∠BDE，求点P的坐标；

②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN＝∠BDE，求点M的坐标．

在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．

(1)如图1，AC∶AB＝1∶2，EF⊥CB，求证：EF＝CD；

(2)如图2，AC∶AB＝1∶，EF⊥CB，求，：EF∶EG的值．

如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”

(1)请用直尺与圆规画一个“好玩三角形”；

(2)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，求证：△ABC是“好玩三角形”；

(3)如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝2β，点P，Q从点A同时出发，以相同的速度分别沿折线AB－BC和AD－DC向终点C运动，记点P所经过的路程为S

①当β＝45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求的值

②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”请直接写出tanβ的取值范围．

(4)本小题为选做题

依据(3)中的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是“好玩三角形”的个数关系的真命题(“好玩三角形”的个数限定不能为1)．

下图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A(6，0)，B(0，8)，点C的坐标为(0，m)，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴上一动点，连结CD，DE，以CD，DE为边作□CDEF．

(1)当0＜m＜8时，求CE的长(用含m的代数式表示)；

(2)当m＝3时，是否存在点D，使□CDEF的顶点F恰好落在y轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得□CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值．

下图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝(x―m)²―m²＋m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD＝AC，连结BD作AE∥x轴，DE∥y轴．

(1)当m＝2时，求点B的坐标；

(2)求DE的长？

(3)①设点D的坐标为(x，y)，求y关于x的函数关系式？

②过点D作AB的平行线，与第(3)①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？