阅读材料：下图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，AB中点P的坐标为(x_p，y_p)．由x_p－x₁＝x₂－x_p，得，同理，所以AB的中点坐标为．

由勾股定理得AB²＝|x₂－x₁|²＋|y₂－y₁|²，所以A、B两点间的距离公式为．

注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立．

解答下列问题：

下图，直线l：y＝2x＋2与抛物线y＝2x²交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C．

(1)求A、B两点的坐标及C点的坐标；

(2)连结AC、BC，求证△ABC为直角三角形；

(3)将直线l平移到C点时得到直线，求两直线l与的距离．

下图，在△ABC中，∠＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．

(1)求证：AE＝BC；

(2)上图(2)，过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α(0°＜α＜144°)得到，连结，，求证：；

(3)在(2)的旋转过程中是否存在∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存

在，请说明理由

如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图像与y轴，x轴的交点，点B在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．

(1)试求b、c的值、并写出该二次函数的表达式；

(2)动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：

①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？

②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？

如图，直线y＝－x＋4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y＝x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1各单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形(点P、Q重合除外)．

(1)求点P运动的速度是多少？

(2)当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？

(3)当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．

如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y＝(x＞0)图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B．

(1)求证：线段AB为⊙P的直径；

(2)求△AOB的面积；

(3)如图2，Q是反比例函数y＝(x＞0)图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D．

求证：DO·OC＝BO·OA．

已知，在矩形ABCD中，E为BC边上一点，AE⊥DE，AB＝12，BE＝16，F为线段BE上一点，EF＝7，连接AF．图1，现有一张硬质纸片△GMN，∠NGM＝90°，NG＝6，MG＝8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上．图2，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ．当点N到达终点B时，△GMN和点P同时停止运动．设运动时间为t秒，解答下列问题：

(1)在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；

(2)在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；

(3)在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．

下图，已知抛物线y＝x²＋bx＋c的图像与x轴的一个交点为B(5，0)，另一个交点为A，且与y轴交于点C(0，5)．

(1)求直线BC与抛物线的解析式；

(2)若点M是抛物线在x轴下方图像上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；

(3)在(2)的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图像上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S₁，△ABN的面积为S₂，且S₁＝6S₂，求点P的坐标．

在平面直角坐标系中，已知抛物线(b，c为常数)的顶点为P，等腰直角三角形ABC的定点A的坐标为(0，－1)，C的坐标为(4，3)，直角顶点B在第四象限．

(1)图中，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；

(2)平移(1)中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．

i)若点M在直线AC下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；

ii)取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

下图，已知直线y＝4－x与反比例函数y＝(m＞0，x＞0)的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别相交于C、D两点．

(1)如果点A的横坐标为1，利用函数图象求关于x的不等式4－x＜的解集；

(2)是否存在以AB为直径的圆经过点P(1，0)？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线y＝ax²－2ax＋c(a≠0)交x轴于A、B两点，A点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，4)，以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线的对称轴l在边OA(不包括O、A两点)上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长．

(3)在(2)的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．