请阅读下列材料：

问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段a(a＋b)(a－b)的中点，连结PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG与PC的位置关系及的值．

小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

(1)写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；

(2)将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图2)．你在(1)中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

(3)若图1中∠ABC＝∠BEF＝2α(0°＜α＜90°)，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值(用含α的式子表示)．

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x²＋bx＋c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)，将直线y＝kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B，C两点．

(1)求直线BC及抛物线的解析式；

(2)设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD＝∠ACB，求点P的坐标；

(3)连结CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．

已知：关于x的一元二次方程mx²－(3m＋2)x＋2m＋2＝0(m＞0)．

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)设方程的两个实数根分别为x₁，x₂(其中x₁＜x₂)．若y是关于m的函数，且y＝x₂－2x₁，求这个函数的解析式；

(3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤2m．

为迎接市运动会，某单位准备用800元订购10套下表中的运动服．

(1)若全部资金用来订购男装甲和女装，问他们可以各订多少套？

(2)若在现有资金800元允许的范围内和运动服总套数不变的前提下，他们想订购表中的三种运动服，其中男装甲和男装乙的套数相同，且女装费用不超过男装甲的费用，求他们能订购三种运动服各多少套？

如图，抛物线y＝x²＋bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A(－1，0)．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)判断△ABC的形状，证明你的结论；

(3)点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM＋DM的值最小时，求m的值．

如图1，边长为5的正方形ABCD是20×20等距网格图，E是AB的中点，DE将正方形ABCD分成明暗两部分．线段MN的长度为5，MN的初始位置与AB重合．点M在AB上滑动，点N在BC上滑动，且MN的长度保持不变．

(1)如图2，当AM等于1时，MN与DE相交于点O，求ON的长；

(2)如图3，设AM＝x，BN＝t，MN落在明区部分的长度为y，试用x，t表示y；

(3)观察图1、2、3、4，说明y随x的变化情况．

(说明：在(3)中将根据你的回答问题的创新程度，给予1～4分的加分)

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，以HF为直径的⊙O与AB、BC、CD、DA相切，切点分别是E、F、G、H，其中H为AD的中点，F为BC的中点，连结HG、GF．

(1)若HG和GF的长是关于x的方程x²－6x＋k＝0的两个实数根，求⊙O的直径HF(用含k的代数式表示)，并求出k的取值范围．

(2)如图，连结EG、DF，EG与HF交于点M，与DF交于点N，求的值．

已知，如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)经过x轴上的两点A(x₁，0)、B(x₂，0)和轴上的点C(0，)，⊙P的圆心P在y轴上，且经过B、C两点，若，AB＝，

(1)求抛物线的解析式；

(2)D在抛物线上，且C、D两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD是否经过圆心P？并说明理由；

(3)设直线BD交⊙P于另一点E，求经过点E的⊙P的切线的解析式．

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C＝60°，AD＝3 cm，BC＝9 cm．⊙O₁的圆心O₁从点A开始沿折线A－D－C以1 cm/s的速度向点C运动，⊙O₂的圆心O₂从点B开始沿BA边以 cm/s的速度向点A运动，⊙O₁半径为2 cm，⊙O₂的半径为4 cm，若O₁、O₂分别从点A、点B同时出发，运动的时间为ts

(1)请求出⊙O₂与腰CD相切时t的值；

(2)在0 s＜t≤3 s范围内，当t为何值时，⊙O₁与⊙O₂外切？