我们在解决数学问题时，经常采用“转化”(或“化归”)的思想方法，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已解决或比较容易解决的问题．

譬如，在学习了一元一次方程的解法以后，进一步研究二元一次方程组的解法时，我们通常采用“消元”的方法，把二元一次方程组转化为一元一次方程；再譬如，在学习了三角形内角和定理以后，进一步研究多边形的内角和问题时，我们通常借助添加辅助线，把多边形转化为三角形，从而解决问题．

问题提出：如何把一个正方形分割成n(n≥9)个小正方形？

为解决上面问题，我们先来研究两种简单的“基本分割法”．

基本分割法1：如图①，把一个正方形分割成4个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了3个正方形．

基本分割法2：如图②，把一个正方形分割成6个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了5个正方形．

问题解决：有了上述两种“基本分割法”后，我们就可以把一个正方形分割成n(n≥9)个小正方形．

(1)把一个正方形分割成9个小正方形．

一种方法：如图③，把图①中的任意1个小正方形按“基本分割法2”进行分割，就可增加5个小正方形，从而分割成4＋5＝9(个)小正方形．

另一种方法：如图④，把图②中的任意1个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加3个小正方形，从而分割成6＋3＝9(个)小正方形．

(2)把一个正方形分割成10个小正方形．

方法：如图⑤，把图①中的任意2个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加3×2个小正方形，从而分割成4＋3×2＝10(个)小正方形．

(3)请你参照上述分割方法，把图⑥给出的正方形分割成11个小正方形(用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法)

(4)把一个正方形分割成n(n≥9)个小正方形．

方法：通过“基本分割法1”、“基本分割法2”或其组合把一个正方形分割成9个、10个和11个小正方形，再在此基础上每使用1次“基本分割法1”，就可增加3个小正方形，从而把一个正方形分割成12个、13个、14个小正方形，依次类推，即可把一个正方形分割成n(n≥9)个小正方形．

从上面的分法可以看出，解决问题的关键就是找到两种基本分割法，然后通过这两种基本分割法或其组合把正方形分割成n(n≥9)个小正方形．

类比应用：仿照上面的方法，我们可以把一个正三角形分割成n(n≥9)个小正三角形．

(1)基本分割法1：把一个正三角形分割成4个小正三角形(请你在图a中画出草图)．

(2)基本分割法2：把一个正三角形分割成6个小正三角形(请你在图b中画出草图)．

(3)分别把图c、图d和图e中的正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形(用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法)

(4)请你写出把一个正三角形分割成n(n≥9)个小正三角形的分割方法(只写出分割方法，不用画图)．

如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A的坐标为(10，0)，顶点B在第一象限内，且．

(1)若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；

(2)在(1)中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若将点O、点A分别变换为点Q(－2k，0)、点R(5k，0)(k＞1的常数)，设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为S_△QMN，△QNR的面积S_△QNR，求S_△QMN∶S_△QNR的值．

如图，已知⊙O的半径为2，以⊙O的弦AB为直径作⊙M，点C是⊙O优弧上的一个动点(不与点A、点B重合)．连结AC、BC，分别与⊙M相交于点D、点E，连结DE．若．

(1)求∠C的度数；

(2)求DE的长；

(3)如果记tan∠ABC＝y，，那么在点C的运动过程中，试用含x的代数式表示y．

问题探究

(1)请在图的正方形ABCD内，画出使∠AOB＝90°的一个点P，并说明理由．

(2)请在图的正方形ABCD内(含边)，画出使∠APB＝60°的所有的点P，并说明理由．

问题解决

(3)如图，现在一块矩形钢板ABCD，AB＝4，BC＝3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和钢板，且．请你在图中画出符合要求的点P和，并求出△APB的面积(结果保留根号)．

如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是(－1，2)．

(1)求点B的坐标；

(2)求过点A、O、B的抛物线的表达式；

(3)连接AB，在(2)中的抛物线上求出点P，使得S_△ABP＝S_△ABO．

已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动(运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止)，过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒．

(1)线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；

(2)线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

如图1、图2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB(与地面平行)或绕定点P(固定在垃圾桶底部的某一位置)上下转动(转动过程中始终保持)．通过向下踩踏点A到(与地面接触点)使点B上升到点，与此同时传动杆BH运动到的位置，点H绕固定点D旋转(DH为旋转半径)至点，从而使桶盖打开一个张角．

如图，桶盖打开后，传动杆所在的直线分别与水平直线AB、DH垂直，垂足为点M、C，设．测得AP＝6 cm，PB＝12 cm，．要使桶盖张开的角度不小于60°，那么踏板AB离地面的高度至少等于多少cm？(结果保留两位有效数字)

(参考数据：)

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点，其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点(不与B、D重合)，过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．

(1)求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；

(2)如果P点的坐标为(x，y)，△PBE的面积为s，求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出s的最大值；

(3)在(2)的条件下，当s取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为，请直接写出点坐标，并判断点是否在该抛物线上．

在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．

(1)如图，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝________度；

(2)设∠BAC＝α，∠BCE＝β．

①如图，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；

②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF＝23°，量得树干倾斜角∠BAC＝38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4 m．

(1)求∠CAE的度数；

(2)求这棵大树折断前的高度？

(结果精确到个位，参考数据：)．