已知：如图，⊙O与⊙A相交于C，D两点，A，O分别是两圆的圆心，△ABC内接于⊙O，弦CD交AB于点G，交⊙O的直径AE于点F，连结BD．

(1)求证：△ACG∽△DBG；

(2)求证：AC²＝AG·AB；

(3)若⊙A，e⊙O的直径分别为，15，且CG∶CD＝1∶4，求AB和BD的长．

　　我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．

　　数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．

　　例如，求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，其中n是正整数．

　　对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法(首尾两头加)，问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论．

　　如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1＋2＋3＋4＋…＋n的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有(n＋1)个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n(n＋1)个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为，即1＋2＋3＋4＋…＋n＝．

(1)仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)的值，其中n是正整数．(要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明)

(2)试设计另外一种图形，求1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)的值，其中n是正整数．(要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明)

某工厂计划为震区生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1 250名学生的学习问题，一套A型桌椅(一桌两椅)需木料0.5 m³，一套B型桌椅(一桌三椅)需木料0.7 m³，工厂现有库存木料302 m³．

(1)有多少种生产方案？

(2)现要把生产的全部桌椅运往震区，已知每套A型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套B型桌椅的生产成本为120元，运费4元，求总费用y(元)与生产A型桌椅x(套)之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用．(总费用＝生产成本＋运费)

(3)按(2)的方案计算，有没有剩余木料？如果有，请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号的桌椅，最多还可以为多少名学生提供桌椅；如果没有，请说明理由．

武警战士乘一冲锋舟从A地逆流而上，前往C地营救受困群众，途经B地时，由所携带的救生艇将B地受困群众运回A地，冲锋舟继续前进，到C地接到群众后立刻返回A地，途中曾与救生艇相遇．冲锋舟和救生艇距A地的距离y(千米)和冲锋舟出发后所用时间x(分)之间的函数图象如图所示．假设营救群众的时间忽略不计，水流速度和冲锋舟在静水中的速度不变．

(1)请直接写出冲锋舟从A地到C地所用的时间．

(2)求水流的速度．

(3)冲锋舟将C地群众安全送到A地后，又立即去接应救生艇．已知救生艇与A地的距离y(千米)和冲锋舟出发后所用时间x(分)之间的函数关系式为y＝－x＋11，假设群众上下船的时间不计，求冲锋舟在距离A地多远处与救生艇第二次相遇？

如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．

(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；

(2)求出这条抛物线的函数解析式；

(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？

如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形AOBC的四个顶点坐标分别为A(2，2)，O(0，0)，B(8，0)，C(6，2)．

(1)求等腰梯形AOBC的面积．

(2)试说明点A在以OB的中点D为圆心，OB为直径的圆上．

(3)在第一象限内确定点M，使△MOB与△AOB相似，求出所有符合条件的点M的坐标．

如下图，抛物线y＝－x²＋2nx＋n²－9(n为常数)经过坐标原点和x轴上另一点C，顶点在第一象限．

(1)确定抛物线所对应的函数关系式，并写出顶点坐标；

(2)在四边形OABC内有一矩形MNPQ，点M，N分别在OA，BC上，点Q，P在x轴上．当MN为多少时，矩形MNPQ的面积最大？最大面积是多少？

我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称________，________；

(2)如下图，已知格点(小正方形的顶点)O(0，0)，A(3，0)，B(0，4)，请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；

(3)如下图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连结AD，DC，∠DCB＝30°．

求证：DC²＋BC²＝AC²，即四边形ABCD是勾股四边形．

已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A(0，1)、B(0，3)，第三个顶点C在x轴的正半轴上．关于y轴对称的抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A、D(3，－2)、P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上．

(1)求直线BC的解析式；

(2)求抛物线y＝ax²＋bx＋c的解析式及点P的坐标；

(3)设M是y轴上的一个动点，求PM＋CM的取值范围．

如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，D、E两点分别在AC、BC上，且DE∥AB，CD＝．将△CDE绕点C顺时针旋转，得到△(如图②，点、分别与点D、E对应)，点在AB上，与AC相交于点M．

(1)求∠的度数；

(2)求证：四边形是梯形；

(3)求△M的面积．