已知抛物线．

(1)试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；

(2)如图，当该抛物线的对称轴为直线x＝3时，抛物线的顶点为点C，直线y＝x－1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．

①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

九(1)班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一应用——探究的过程：

(1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道(如图①)进行测量，测得一隧道的路面宽为10 m．隧道顶部最高处距地面6.25 m，并画出了隧道截面图．建立了如图②所示的直角坐标系．请你求出抛物线的解析式．

(2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5 m．为了确保安全．问该隧道能否让最宽3 m．最高3.5 m的两辆厢式货车居中并列行驶(两车并列行驶时不考虑两车间的空隙)？

(3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型塑．提出了以下两个问题，请予解答：

Ⅰ．如图③，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上．顶点A、B落在x轴上．设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值．

Ⅱ．如图④，过原点作一条y＝x的直线OM，交抛物线于点M．交抛物线对称轴于点N，P为直线OM上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P＝－(x－60)²＋41(万元)．当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Q＝－(100－x)²＋(100－x)＋160(万元)．

(1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？

(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少？

(3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？

如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(O、C、F三点在x轴正半轴上)．若⊙P过A、B、E三点(圆心在x轴上)，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1．

(1)求B点坐标；

(2)求证：ME是⊙P的切线；

(3)设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点，①求△ACQ周长的最小值；②若FQ＝t，S_△ACQ＝s，直接写出s与t之间的函数关系式．

如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一动点(C点除外)，直线PM交AB的延长线于点D．

(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示)；

(2)当△APD是等腰三角形时，求m的值；

(3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H(如图)，当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路径长．(不必写解答过程)

已知顶点为A(1，5)的抛物线y＝ax²＋bx＋c经过点B(5，1)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，设C，D分别是x轴、y轴上的两个动点，求四边形ABCD周长的最小值；

(3)在(2)中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD．设点P(x，y)(x＞0)是直线y＝x上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图所示构造等腰直角三角形PRQ．

①当△PBR与直线CD有公共点时，求x的取值范围；

②在①的条件下，记△PBR与△COD的公共部分的面积为S．求S关于x的函数关系式，并求S的最大值．

如图，抛物线y＝x²＋bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A(一1，0)．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)判断△ABC的形状，证明你的结论；

(3)点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM＋DM的值最小时，求m的值．

如图，抛物线y＝mx²－11mx＋24m(m＜0)与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧)，抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC＝90°．

(1)填空：OB＝________，OC＝________；

(2)连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；

(3)如图，设垂直于x轴的直线l：x＝n与(2)中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．

抛物线y＝－(x－1)²＋3与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．

(1)如图1．求点A的坐标及线段OC的长；

(2)点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．

①若含45°角的直角三角板如图2所示放置．其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上．求直线BQ的函数解析式；

②若含30．角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．