现场学习题

问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC

三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．

小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如下图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．

(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上．________

思维拓展：

(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积是：________．

探索创新：

(3)若△ABC三边的长分别为、、(m＞0，n＞o，m≠n)，请运用构图法在图3指定区域内画出示意图，并求出△ABC的面积为：________．

已知：如图所示，△ABC为任意三角形，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△DEC．

(1)试猜想AE与BD有何关系？说明理由；

(2)若△ABC的面积为4 cm²，求四边形ABDE的面积；

(3)请给△ABC添加条件，使旋转得到的四边形ABDE为矩形，并说明理由．

已知二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)，且与x轴交于A、B两点．

(1)试确定此二次函数的解析式；

(2)判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由．

如图，将正方形ABCD中的△ABD绕对称中心O旋转至△GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N．请猜想BM与FN有怎样的数量关系？并证明你的结论．

阅读下列材料：

在图1中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．

小明的做法：当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连结FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．

小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连结CH，由剪拼方法可得DH＝BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH(如图1)，过点F作FM⊥AE于点M(图略)，利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH＝HC＝GC＝FG，∠FHC＝90°．

进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．

解决下列问题：

(1)正方形FGCH的面积是________；(用含a，b的式子表示)

(2)类比图1的剪拼方法，请你就图2的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．

阅读下列材料：

小明遇到一个问题：如图，正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD和DA边上靠近A、B、C、D的n等分点，连结AF、BG、CH、DE，形成四边形MNPQ．求四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比(用含n的代数式表示)．

小明的做法是：

先取n＝2，如图，将△ABN绕点B顺时针旋转90゜至△CB，再将△ADM绕点D逆时针旋转90°至△CD，得到5个小正方形，所以四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比是；

然后取n＝3，如图，将△ABN绕点B顺时针旋转90°至△CB，再将△ADM绕点D逆时针旋转90°至△CD，得到10个小正方形，所以四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比是，即；

……

请你参考小明的做法，解决下列问题：

(1)在下图中探究n＝4时四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比(在图上画图并直接写出结果)；

(2)下图是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形(在图中画出并指明拼接后的正方形)．

如图，在□ABCD中，∠DAB＝60°，点F，E分别在AB，CD的延长线上，且CF＝BC，AE＝AD．

(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；

(2)若去掉已知条件的“∠DAB＝60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．