在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD＋BE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD－BE；

(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴相交于点E，点B(－1，0)，P是AC上的一个动点(P与点A、C不重合)

(1)求点A、E的坐标；

(2)若y＝过点A、E，求抛物线的解析式．

(3)连结PB、PD，设L为△PBD的周长，当L取最小值时，求点P的坐标及L的最小值，并判断此时点P是否在(2)中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由．

如下图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，M是BC的中点，P为AB上的一个动点，(可以与A、B重合)，并作∠MPD＝90°，PD交BC(或BC的延长线)于点D．

(1)记BP的长为x，△BPM的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)是否存在这样的点P，使得△MPD与△ABC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

已知：如图，O为□ABCD的对角线BD上一点，过点O的直线l与□ABCD的一组对边分别相交于点E、F，且OE＝OF．

(1)试证明：点O为BD的中点．

(2)若直线l绕点O旋转，那么在旋转过程中，直线l与□ABCD的一组对边(或它们的延长线)分别相交于点、，那么是否恒成立？若成立，请画出一种情形的图形予以证明；若不成立，请说明理由．

如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为弧BC的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，∠ADG＝∠AGD，AB＝2，AD＝4，EG＝2．求证：∠A＝60°．

如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，一个直径与AD相等的圆与AB相切于点E，与BC相切于点F，连接EF．

(1)判断EF与AC的位置关系(不必说明理由)；

(2)FG是圆的一条直径，连接AG．判断AG与圆的位置关系，并说明理由．

　　如图，某学习小组在探索“一点到等边三角形三边的距离与该等边三角形的高的关系”时，对话如下：

　　甲同学：我们先将要探索的问题具体化，(边说边画)等边△ABC，高为h．点P该在哪儿呢？

　　乙同学：我想，点P的位置就是分类讨论的关键．我们研究问题应该从特殊到一般．特殊的话，点P应该在等边△ABC的一边上，(边说边画，得图①)．只需连接AP，我就可以得到PD＋PE＝AM．

　　丙同学：结果要及时上升为规律．设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h₁、h₂、h₃．你的发现就可以归纳为h＝h₁＋h₂＋h₃．而点P在等边△ABC内部时(如图②)，这个结论也成立．

　　丁同学：如果点P在等边△ABC外部呢(如图③)？丙发现的“规律”好像有问题……

(1)请你证明丙同学的发现．

(2)丁同学发现了什么问题，提出你的猜想(不必证明)．

用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合．将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．

(1)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时(如图甲)，通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；

(2)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时(如图乙)，你在(1)中得到的结论还成立吗？简要说明理由．

(1)如图1，直线MN与⊙O相交，且与⊙O的直径AB垂直，垂足为P，过点P的直线与⊙O交于C、D两点，直线AC交MN于点E，直线AD交MN于点F．求证：PC·PD＝PE·PF．

(2)如图2，若直线MN与⊙O相离．(1)中的其余条件不变，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

(3)在图3中，直线MN与⊙O相离，且与⊙O的直径AB垂直，垂足为P．①请按要求画出图形：画⊙O的割线PCD(PC＜PD)，直线BC与MN交于E，直线BD与MN交于F．②能否仍能得到(1)中的结论？请说明理由．

如图1、2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A、B重合)，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．

(1)如图1，当点E在AB边的中点位置时：

①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是________；

②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是________；

③请证明你的上述两个猜想．

(2)如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE＝BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系．