如图，⊙O的直径AB＝6 cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC．

(1)若∠CPA＝30°，求PC的长；

(2)若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP的值．

如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，且AB＝AC＝4．P为AB上一点，过P作PE⊥AB分别BC、OA于E、F

(1)设AP＝1，求△OEF的面积．

(2)设AP＝a(0＜a＜2)，△APF、△OEF的面积分别记为S₁、S₂．

①若S₁＝S₂，求a的值；

②若S＝S₁＋S₂，是否存在一个实数a，使S＜？

若存在，求出一个a的值；若不存在，说明理由．

如图，四边形ABCD中，AD不平行BC，现给出三个条件：①∠CAB＝∠DBA，②AC＝BD，③AD＝BC．请你从上述三个条件中选择两个条件，使得加上这两个条件后能够推出ABCD是等腰梯形，并加以证明(只需证明一种情况)．

如图，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于N．

(1)求证：MD＝MN；

(2)若将上述条件中的“M为AB边的中点”改为“M为AB边上任意一点”，其余条件不变，则结论“MD＝MN”成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，E、F分别是AB和BC边上的点．

(1)如图，以EF为对称轴翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，且DF⊥BC．若AD＝4，BC＝8，求梯形ABCD的面积S_梯形ABCD的值；

(2)如图，连接EF并延长与DC的延长线交于点G，如果FG＝k·EF(k为正数)，试猜想BE与CG有何数量关系？写出你的结论并证明之．

如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

(1)求A、B、C三点的坐标；

(2)证明△ABC为直角三角形；

(3)在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使△ABP是直角三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．

(1)求证：AF＋EF＝DE；

(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出(1)中的结论是否仍然成立；

(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③．你认为(1)中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．

已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于E、F．

当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时(如图1)，易证．

当∠EDF绕E点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S_△DEF、S_△CEF、S_△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．

(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；

(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；

(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

如图所示，⊙O的直径AB＝4，点P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连结AC．

(1)若∠CPA＝30°，求PC的长；

(2)若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M．你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP的大小．