观察计算

当a＝5，b＝3时，与的大小关系是________．

当a＝4，b＝4时，与的大小关系是________．

探究证明

如图所示，△ABC为圆O的内接三角形，AB为直径，过C作CD⊥AB于D，设AD＝a，BD＝b．

(1)分别用a，b表示线段OC，CD；

(2)探求OC与CD表达式之间存在的关系(用含a，b的式子表示)．

归纳结论

根据上面的观察计算、探究证明，你能得出与的大小关系是：________．

实践应用

要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．

已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB＋∠MON＝180°．

(1)利用图1，求证：PA＝PB；

(2)如图2，若点C是AB与OP的交点，当S_△POB＝3S_△PCB时，求PB与PC的比值；

(3)若∠MON＝60°，OB＝2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD＝∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP的长．

我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧．则圆心角AOB的度数等于它所对的弧AB的度数记为：由此可知：命题“圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半．”是真命题，请结合图形1给予证明(不要求写己知、求证．只需直接证明)，并解决以下的问题(1)和问题(2)．

问题(1)：如图2，⊙O的两条弦AB、CD相交于圆内一点P，求证：

问题(2)：如图3，⊙O的两条弦AB、CD相交于圆外一点P．问题(1)中的结论是否成立，如果成立，给予证明：如果不成立，写出一个类似的结论(不要求证明)

如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x＋12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点．过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．△ABP△AOB

(1)求直线AM的解析式；

(2)试在直线AM上找一点P，使得S_△ABP＝S_△AOB，请直接写出点P的坐标；

(3)若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点(不与点B重合)，EP与BD相交于点O．

(1)当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；

(2)设(1)中的相似比为k，若AD∶BC＝2∶3．请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？①当k＝1时，是________；②当k＝2时，是________；③当k＝3时，是________．并证明k＝2时的结论．

平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．

(1)如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD＋∠D，得∠BPD＝∠B－∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；

(2)在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？(不需证明)；

(3)根据(2)的结论求图d中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．

在□ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE．

(1)如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；

(2)如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是________；

(3)如图③，在(2)的条件下，若AC＝BD，四边形EGFH的形状是________；

(4)如图④，在(3)的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．

如图，在一块正方形ABCD木板上要贴三种不同的墙纸，正方形EFCG部分贴A型墙纸，△ABE部分贴B型墙纸，其余部分贴C型墙纸．A型、B型、C型三种墙纸的单价分别为每平方60元、80元、40元．

探究1：如果木板边长为2米，FC＝1米，则一块木板用墙纸的费用需________元；

探究2：如果木板边长为1米，求一块木板需用墙纸的最省费用；

探究3：设木板的边长为a(a为整数)，当正方形EFCG的边长为多少时？墙纸费用最省；如要用这样的多块木板贴一堵墙(7×3平方米)进行装饰，要求每块木板A型的墙纸不超过1平方米，且尽量不浪费材料，则需要这样的木板________块．