已知：抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)，顶点C(1，－3)，与x轴交于A、B两点，A(－1，0)．

(1)求这条抛物线的解析式．

(2)如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

(3)在(2)的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边AE、BE相交于点F，G(F与A、E不重合，G与E、B不重合)，请判断是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．

(1)求梯形ABCD的面积；

(2)求四边形MEFN面积的最大值．

(3)试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．

在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点(不与A，B重合)，过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．

(1)用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；

(2)当x为何值时，⊙O与直线BC相切？

(3)在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2 cm．长为1 cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1 cm/s的速度向点B运动(运动前点M与点A重合)．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts．

(1)若△AMP的面积为y，写出y与t的函数关系式(写出自变量t的取值范围)；

(2)线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；

(3)t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

已知抛物线y＝3ax²＋2bx＋c，

(Ⅰ)若a＝b＝1，c＝－1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；

(Ⅱ)若a＝b＝1，且当－1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；

(Ⅲ)若a＋b＋c＝0，且x₁＝0时，对应的y₁＞0；x₂＝1时，对应的y₂＞0，试判断当0＜x＜1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．

已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．

(Ⅰ)当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图①，求证：MN²＝AM²＋BN²；

思路点拨：考虑MN²＝AM²＋BN²符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了．

(Ⅱ)当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式MN²＝AM²＋BN²是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

如图，已知点A的坐标是(－1，0)，点B的坐标是(9，0)，以AB为直径作⊙，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙于点D，连结BD，求直线BD的解析式；

(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CBD？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

阅读下列材料，按要求解答问题：

如图1，在ΔABC中，∠A＝2∠B，且∠A＝60°．小明通过以下计算：由题意，∠B＝30°，∠C＝90°，c＝2b，a＝b，得a²－b²＝(b)²－b²＝2b²＝b·c．即a²－b²＝bc．

于是，小明猜测：对于任意的ΔABC，当∠A＝2∠B时，关系式a²－b²＝bc都成立．

(1)如图2，请你用以上小明的方法，对等腰直角三角形进行验证，判断小明的猜测是否正确，并写出验证过程；

(2)如图3，你认为小明的猜想是否正确，若认为正确，请你证明；否则，请说明理由；

(3)若一个三角形的三边长恰为三个连续偶数，且∠A＝2∠B，请直接写出这个三角形三边的长，不必说明理由．

如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，点P在矩形的边DC上由D向C运动．沿直线AP翻折△ADP，形成如下四种情形．设DP＝x，△ADP和矩形重叠部分(阴影)的面积为y．

(1)如图丁，当点P运动到与C重合时，求重叠部分的面积y；

(2)如图乙，当点P运动到何处时，翻折△ADP后，点D恰好落在BC边上？这时重叠部分的面积y等于多少？

(3)阅读材料：

已知锐角α≠45°，tan2α是角2α的正切值，它可以用角α的正切值tanα来表示，即(α≠45°)．

根据上述阅读材料，求出用x表示y的解析式，并指出x的取值范围．(提示：在图丙中可设∠DAP＝α)

如图，已知抛物线y＝x²＋bx＋c经过点(1，－5)和(－2，4)

(1)求这条抛物线的解析式．

(2)设此抛物线与直线y＝x相交于点A，B(点B在点A的右侧)，平行于y轴的直线与抛物线交于点M，与直线y＝x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长(用含m的代数式表示)．

(3)在条件(2)的情况下，连接OM、BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．