如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax²＋bx＋c(a＞0)的图象顶点为D，与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点B的坐标为(3，0)，OB＝OC，．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径长度；

(3)如图，若点G(2，y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P的坐标和△AGP的最大面积．

在矩形ABCD中，AB＝2，

(1)在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；

(2)若P为BC边上一点，且BP＝2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．

①求证：点B平分线段AF；

②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，点A(0，6)，点B是x轴上的一个动点，连结AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC．过点B作x轴的垂线交直线AC于点D．设点B坐标是(t，0)．

(1)当t＝4时，求直线AB的解析式；

(2)当t＞0时，用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；

(3)是否存在点B，使△ABD为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线y＝ax²＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点(2，－3a)，对称轴是直线x＝1，顶点是M．

(1)求抛物线对应的函数表达式；

(2)经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)设直线y＝－x＋3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E(不与B，D重合)，经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由；

(4)当E是直线y＝－x＋3上任意一点时，(3)中的结论是否成立？(请直接写出结论)．

在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y＝x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N(如图)．

(1)求边OA在旋转过程中所扫过的面积；

(2)旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；

(3)设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论．

如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．

(1)求出抛物线的解析式；

(2)P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

数学课上，张老师出示了问题：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平行线CF于点F，求证：AE＝EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM＝EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

(1)小颖提出：如图，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B，C外)的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

(2)小华提出：如图，点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为(－1，0)，点B在抛物线y＝ax²＋ax－2上．

(1)点A的坐标为________，点B的坐标为________；

(2)抛物线的关系式为________；

(3)设(2)中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；

(4)将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达的位置．请判断点是否在(2)中的抛物线上，并说明理由．

操作：如图，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．

探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．

说明：(1)如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步)；

(2)在你经历说明(1)的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．

注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得5分．

①AN＝NC(如图)；

②DM∥AC(如图)．

若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的关系，在图中画出图形，并说明理由．

已知抛物线y＝x2－4x＋1．将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线．

(1)求平移后的抛物线解析式；

(2)若直线y＝m与这两条抛物线有且只有四个交点，求实数m的取值范围；

(3)若将已知的抛物线解析式改为y＝ax2＋bx＋c(a＞0，b＜0)，并将此抛物线沿x轴方向向左平移个单位长度，试探索问题(2)．