如图①，直线AM⊥AN，⊙O分别与AM、AN相切于B、C两点，连结OC、BC，则有∠ACB＝∠OCB；(请思考：为什么？)如果测得AB＝a，则可知⊙O的半径r＝a．(请思考：为什么？)

(1)将图①中直线AN向右平移，与⊙O相交于C₁、C₂两点，⊙O与AM的切点仍记为B，如图②．请你写出与平移前相应的结论，并将图②补充完整；判断此结论是否成立，且说明理由．

(2)在图②中，若只测得AB＝a，能否求出⊙O的半径r？若能求出，请你用a表示r；若不能求出，请补充一个条件(补充条件时不能添加辅助线，若补充线段请用b表示，若补充角请用α表示)，并用a和补充的条件表示r．

如图，已知矩形ABCD，AB＝，BC＝3，在BC上取两点E，F(E在F左边)，以EF为边作等边三角形PEF，使顶点P在AD上，PE，PF分别交AC于点G，H．

(1)求△PEF的边长；

(2)在不添加辅助线的情况下，当F与C不重合时，从图中找出一对相似三角形，并说明理由；

(3)若△PEF的边EF在线段BC上移动．试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论．

已知△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，BD是AC边上的中线，分别以AC，AB所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系(如图)．

(1)在BD所在直线上找出一点P，使四边形ABCP为平行四边形，画出这个平行四边形，并简要叙述其过程；

(2)求直线BD的函数关系式；

(3)直线BD上是否存在点M，使△AMC为等腰三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．

以△ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰R△ABD和等腰Rt△ACE，∠BAD＝∠CAE＝90°，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．

(1)如图①当△ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是________，线段AM与DE的数量关系是________；

(2)将图①中的等腰Rt△ABD绕点A沿逆时针方向旋转(0＜＜90)后，如图②所示，(1)问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

如图，点A在x轴的负半轴上，OA＝4，AB＝OB＝．将△ABO绕坐标原点O顺时针旋转90°，得到△A₁B₁O，再继续旋转90°，得到△A₂B₂O．抛物线y＝ax²＋bx＋3经过B、B₁两点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点B₂是否在此抛物线上，请说明理由；

(3)在该抛物线上找一点P，使得△PBB₂是以BB₂为底的等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标；

(4)在该抛物线上，是否存在两点M、N，使得原点O是线段MN的中点，若存在，直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．

已知：抛物线y＝x²＋mx＋n与x轴交A、B两点(A点在B点左侧)，B(3，0)，且经过C(2，－3)，与y轴交于点D，

(1)求此抛物线的解析式及顶点F的坐标；

(2)P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物于E点，求线段PE长度的最大值；

(3)在(1)的条件下，在x轴上是否存在两个点G、H(G在H的左侧)，且GH＝2，使得线段GF＋FC＋CH＋HG的长度和为最小；如果存在，求出G、Ｈ的坐标；如果不存在，说明理由．

(1)已知：有两块完全相同的含45°角的三角板，如图，将Rt△DEF的直角的＝顶点D放在Rt△ABC斜边AB的中点处，这时两块三角板重叠部分△DBC的面积是△ABC的面积的________；

(2)如图，点D不动，将Rt△DEF绕着顶点D旋转α(0°＜∠α＜90°)，这时两块三角板重叠部分为任意四边形DNCM，这时四边形DNCM的面积是△ABC的面积的________；

(3)若Rt△DEF的顶点D在AB上移动(不与点A、B重合)，且两条直角边与Rt△ABC的两条直角边相交，是否存在一点，使得两块三角板重叠部分的面积是Rt△ABC的面积的，如果存在，请在图中画出此时的图形，并说明点D在AB上的位置．如果不存在，说明理由．

已知：直线y＝x＋6交x轴、y轴于A、C两点，经过A、O两点的抛物线y＝ax²＋bx(a＜0)的顶点B在直线AC上．

(1)求A、C两点坐标；

(2)求出该抛物线的函数关系式；

(3)以B点为圆心，以AB为半径作⊙B，将⊙B沿x轴翻折得到⊙D，试判断直线AC与⊙D的位置关系，并说明理由；

(4)若E为⊙B优弧上一动点，联结AE、OE，问在抛物线上是否存在一点M，使∠MOA∶∠AEO＝2∶3，若存在，试求出点M的坐标；若不存在，试说明理由．

如图：四边形ABCD为正方形，M、N分别是BC和CD中点，AM与BN交于点P，

(1)请你用几何变换的观点写出△BCN是△ABM经过什么几何变换得来的；

(2)观察上图，图中是否存在一个四边形，这个四边形的面积与△APB的面积相等？写出你的结论．(不必证明)

(3)如图：六边形ABCDEF为正六边形，M、N分别是CD和DE的中点，AM与BN交于点P，问：你在(2)中所得的结论是否成立？若成立，写出结论并证明，若不成立请说明理由．

如图，把一副三角板如图1放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6 cm，DC＝7 cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到如图2．这时AB与相交于点O，与AB相交于点F．

(1)求∠OF的度数；

(2)求线段的长．

(3)若把三角形绕着点C顺时针再旋转30°得△，这时点B在△的内部、外部、还是边上？证明你的判断．