如图，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm．设P、Q分别为BD、BC上的动点，在点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度均为1 cm/s，设P、Q移动的时间为t(0＜t≤4)．

(1)写出△PBQ的面积S(cm²)与时间t(s)之间的函数表达式，当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？

(2)当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？

(3)△PBQ能否成为等边三角形？若能，求t的值；若不能，说明理由．

已知正方形ABCD．

(1)如图，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求证：BE＝GH；

(2)如图，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD、BC于点E、F，交AB、CD于点G、H，EF与GH相等吗？请写出你的结论；

(3)当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边(或它们的延长线)截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m、n，m与AD、BC的延长线分别交于点E、F，n与AB、DC的延长线分别交于点G、H，试就该图对你的结论加以证明．

如下图，二次函数y＝x²＋px＋q(p＜0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，－1)，△ABC的面积为．

(1)求该二次函数的关系式；

(2)过y轴上的一点M(0，m)作y轴上午垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；

(3)在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N．

当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时(如下图)，易证BM＋DN＝MN．

(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如下图)，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．

(2)当∠MAN绕点A旋转到如下图的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的(或构造的)几何图形提出相关的概念和问题(或者根据问题构造图形)，并加以研究．

例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题(包括研究的思想和方法)．

请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究：

(1)如图，在圆O所在平面上，放置一条直线m(m和圆O分别交于点A、B)，根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些(直接写出两个即可)？

(2)如图，在圆O所在平面上，请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心的两条直线m和n(m与圆O分别交于点A、B，n与圆O分别交于点C、D)．

请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之．

(3)如图，其中AB是圆O的直径，AC是弦，D是的中点，弦DE⊥AB于点F．请找出点C和点E重合的条件，并说明理由．

如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点(不与B，C重合)，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G．

(1)求证：；

(2)FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；

(3)当AB＝AC时，△FDG为等腰直角三角形吗？并说明理由．

如图①，△ABC内接于⊙O，点P是△ABC的内切圆的圆心，AP交边BC于点D，交⊙O于点E，经过点E作⊙O的切线分别交AB、AC延长线于点F、G．

(1)求证：BC∥FG；

(2)探究：PE与DE和AE之间的关系；

(3)当图①中的FE＝AB时，如图②，若FB＝3，CG＝2，求AG的长．

如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A、C和点B(－1，0)．

(1)求该二次函数的关系式；

(2)设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；

(3)有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动．设D、E同时从点O出发t秒时，△ODE的面积为S．

①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

③设S₀是②中函数S的最大值，那么S₀＝________．

如图，正方形ABCD的边长为3a，两动点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度沿BC、CD运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF，对应边EG＝BC，B、E、C、G在一直线上．

(1)若BE＝a，求DH的长；

(2)当E点在BC边上的什么位置时，△DHE的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值．

在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝8 cm，CD＝2 cm，AD＝BC＝6 cm，M、N为同时从A点出发的两个动点，点M沿A→D→C→B的方向运动，速度为2 cm/秒；点N沿A→B的方向运动，速度为1 cm/秒．当M、N其中一点到达B点时，点M、N运动停止．设点M、N的运动时间为x秒，以点A、M、N为顶点的三角形的面积为ycm²．

(1)试求出当0＜x＜3时，y与x之间的函数关系式；

(2)试求出当4＜x＜7时，y与x之间的函数关系式；

(3)当3＜x＜4时，以A、M、N为顶点的三角形与以B、M、N为顶点的三角形是否有可能相似？若相似，试求出x的值．若不相似，试说明理由．