如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为(－8，0)，点N的坐标为(－6，－4)．

(1)画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标(点M的对应点为A，点N的对应点为B，点H的对应点为C)；

(2)求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；

(3)截取CE＝OF＝AG＝m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；

(4)在(3)的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．

如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形(点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动)．

(1)如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；

(2)如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；

(3)若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立？请直接写出结论，不必证明或说明理由．

如图，抛物线y＝x²＋x－4与y轴交于点A，E(0，b)为y轴上一动点，过点E的直线y＝x＋b与抛物线交于点B、C．

(1)求点A的坐标；

(2)当b＝0时(如图)，△ABE与△ACE的面积大小关系如何？当b＞－4时，上述关系还成立吗，为什么？

(3)是否存在这样的b，使得△BOC是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由．

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)顶点为C(1，1)且过原点O．过抛物线上一点P(x，y)向直线y＝作垂线，垂足为M，连FM(如图)．

(1)求字母a，b，c的值；

(2)在直线x＝1上有一点F(1，)，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；

(3)对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N(1，t)，使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由．

某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度v(米/秒)与时间t(秒)的关系如图a，A(10，5)，B(130，5)，C(135，0)．

(1)求该同学骑自行车上学途中的速度v与时间t的函数关系式；

(2)计算该同学从家到学校的路程(提示：在OA和BC段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点时刻的速度，路程＝平均速度×时间)；

(3)如图b，直线x＝t(0≤t≤135)，与图a的图象相交于P、Q，用字母S表示图中阴影部分面积，试求S与t的函数关系式；

(4)由(2)(3)，直接猜出在t时刻，该同学离开家所超过的路程与此时S的数量关系．

如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD＝OA＝，AB＝3，∠OAB＝45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF＝45°．

(1)直接写出D点的坐标；

(2)设OE＝x，AF＝y，试确定y与x之间的函数关系；

(3)当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，得到△，求△与五边形OEFBC重叠部分的面积．

已知：在△ABC中AB＝AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM．

(1)如图，当∠ABC＝45°时，求证：AE＝MD；

(2)如图，当∠ABC＝60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为：________．

(3)在(2)的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝2，求tan∠ACP的值．

如图，在平面直角坐标系中，点B在直线y＝2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA＝5．若抛物线y＝x²＋bx＋c过点O、A两点．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若A点关于直线y＝2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；

(3)如图，在(2)的条件下，⊙O₁是以BC为直径的圆．过原点O作O₁的切线OP，P为切点(P与点C不重合)，抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O₁相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．

将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(–3，0)．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；

(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与(2)中△APE的最大面积相等？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

已知：抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)，顶点C(1，－4)，与x轴交于A、B两点，A(－1，0)．

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线的对称轴交于点F，依次连接A、D、B、E，点Q为线段AB上一个动点(Q与A、B两点不重合)，过点Q作QF⊥AE于F，QG⊥DB于G，请判断是否为定值；若是，请求出此定值，若不是，请说明理由；

(1)在(2)的条件下，若点H是线段EQ上一点，过点H作MN⊥EQ，MN分别与边AE、BE相交于M、N，(M与A、E不重合，N与E、B不重合)，请判断是否成立；若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．