科目: 来源: 题型:解答题
已知矩形OABC的顶点O(0,0)、A(4,0)、B(4,-3).动点P从O出发,以每秒1个单位的速度,沿射线OB方向运动.设运动时间为t秒.
(1)求P点的坐标(用含t的代数式表示);
(2)如图,以P为一顶点的正方形PQMN的边长为2,且边PQ⊥y轴.设正方形PQMN与矩形OABC的公共部分面积为S,当正方形PQMN与矩形OABC无公共部分时,运动停止.
①当t<4时,求S与t之间的函数关系式;
②当t>4时,设直线MQ、MN分别交矩形OABC的边BC、AB于D、E,问:是否存在这样的t,使得△PDE为直角三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.
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在正方形ABCD中,点M是射线BC上一点,点N是CD延长线上一点,且BM=DN.直线BD与MN相交于E.
(1)如图1,当点M在BC上时,求证:BD-2DE=BM;
(2)如图2,当点M在BC延长线上时,BD、DE、BM之间满足的关系式是 ;
(3)在(2)的条件下,连接BN交AD于点F,连接MF交BD于点G.若DE=,且AF:FD=1:2时,求线段DG的长.
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如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,正方形DEFG的顶点D在边AC上,点E,F在边AB上,点G在边BC上.
⑴求证:△ADE≌△BGF;
⑵若正方形DEFG的面积为16,求AC的长.
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类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整,原题:如图1,在平行四边形ABCD中,点E是BC的中点,点F是线段AE上一点,BF的延长线交射线CD于点G.若=3,求的值.
(1)尝试探究:
在图1中,过点E作EH∥AB交BG于点H,则AB和EH的数量关系是________,
CG和EH的数量关系是________,
的值是________.
(2)类比延伸:
如图2,在原题条件下,若=m(m>0)则的值是________(用含有m的代数式表示),试写出解答过程.
(3)拓展迁移:
如图3,梯形ABCD中,DC∥AB,点E是BC的延长线上的一点,AE和BD相交于点F,若=a,=b(a>0,b>0)则的值是________(用含a、b的代数式表示).
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如图,已知正方形ABCD中,BE平分∠DBC且交CD边于点E,将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置,并延长BE交DF于点G.
(1)求证:△BDG∽△DEG;
(2)若EG·BG=4,求BE的长.
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如图,在正方形ABCD中,E是BC上的一点,连结AE,作BF⊥AE,垂足为H,交CD于F,作CG∥AE,交BF于G.
求证:(1)CG=BH,
(2)FC2=BF·GF,
(3)=.
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如图,△ABC是一张锐角三角形的硬纸片,AD是边BC上的高,BC=40 cm,AD=30 cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在BC上,顶点G、H分别在AC、AB上,AD与HG的交点为M. 求矩形的长与宽.
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用纸折出黄金分割点:裁一张正方形的纸片ABCD,先折出BC的中点E,再折出线段AE,然后通过折叠使EB落到线段EA上,折出点B的新位置B′,因而EB′=EB,类似地,在AB上折出点B″使AB″=AB′,这时B″就是AB的黄金分割点,请你证明这个结论.
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如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.
(1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;
(2)连接AQ、CP,若AQ⊥CP,求t的值;
(3)试证明:PQ的中点在△ABC的一条中位线上.
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