科目: 来源: 题型:解答题
已知△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,点D是腰AC上的一个动点,过C作CE垂直于BD的延长线,垂足为E.
(1)若BD是AC边上的中线,如图1,求的值;
(2)若BD是∠ABC的角平分线,如图2,求的值.
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提出问题:如图①,在四边形ABCD中,点E、F是AD的n等分点中最中间2个,点G、H是BC的n等分点中最中间2个,(其中n为奇数),连接EG、FH,那么S四边形EFHG与S四边形ABCD之间有什么关系呢?
探究发现:为了解决这个问题,我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手:
(1)如图②:四边形ABCD中,点E、F是AD的3等分点,点G、H是BC的3等分点,连接EG、FH,那么S四边形EFHG与S四边形ABCD之间有什么关系呢?
如图③,连接EH、BE、DH,
因为△EGH与△EBH高相等,底的比是1:2,
所以S△EGH=S△EBH
因为△EFH与△DEH高相等,底的比是1:2,
所以S△EFH=S△DEH
所以S△EGH+S△EFH=S△EBH +S△DEH
即S四边形EFHG=S四边形EBHD
连接BD,
因为△DBE与△ABD高相等,底的比是2:3,
所以S△DBE=S△ABD
因为△BDH与△BCD高相等,底的比是2:3,
所以S△BDH=S△BCD
所以S△DBE +S△BDH=S△ABD+S△BCD =(S△ABD+S△BCD)
=S四边形ABCD
即S四边形EBHD=S四边形ABCD
所以S四边形EFHG=S四边形EBHD=×S四边形ABCD=S四边形ABCD
(1)如图④:四边形ABCD中,点E、F是AD的5等分点中最中间2个,点G、H是BC的5等分点中最中间2个,连接EG、FH,猜想:S四边形EFHG与S四边形ABCD之间有什么关系呢
验证你的猜想:
(2)问题解决:如图①,在四边形ABCD中,点E、F是AD的n等分点中最中间2个,点G、H是BC的n等分点中最中间2个,连接EG、FH,(其中n为奇数)
那么S四边形EFHG与S四边形ABCD之间的关系为: (不必写出求解过程)
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如图,在直角梯形OABC中,OA∥BC,A、B两点的坐标分别为A(13,0),B(11,12),动点P,Q分别从O、B两点同时出发,点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动,点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动,当点P停止运动时,点Q同时停止运动.线段OB、PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交AB于点E,设动点P、Q运动时间为t(单位:s)
(1)当t为何值时,四边形PABQ是平行四边形,请写出推理过程;
(2)通过推理论证:在P、Q的运动过程中,线段DE的长度不变;
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小明对直角三角形很感兴趣. △ABC中,∠ACB=90°,D是AB上任意一点,连接DC,作DE⊥DC,EA⊥AC,DE与AE交于点E.请你跟着他一起解决下列问题:
(1)如图1,若△ABC是等腰直角三角形,则DE,DC有什么数量关系?请给出证明.
(2)如果换一个直角三角形,如图2,∠CBA=30°,则DE,DC又有什么数量关系?请给出证明.
(3)由(1)、(2)这两种特殊情况,小明提出问题:如果直角三角形ABC中,BC=mAC,那DE, DC有什么数量关系?请给出证明.
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如图,在△ABC中,∠B= 90°,点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动。
(1)如果P、Q分别从A、B两点同时出发,经过几秒钟,△PBQ的面积等于8厘米2?
(2)如果P、Q两分别从A、B两点同时出发,并且P到B又继续在BC边上前进,Q到C后又继续在CA边上前进,经过几秒钟,△PCQ的面积等于12﹒6厘米2 ?
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如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,点在轴上,是线段的中点.将线段绕着点顺时针方向旋转,得到线段,连结、.
(1)判断的形状,并简要说明理由;
(2)当时,试问:以、、、为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求出相应的 的值?若不能,请说明理由;
(3)当为何值时,与相似?
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探究一:如图1,已知正方形ABCD,E、F分别是BC、AB上的两点,且AE⊥DF.小明经探究,发现AE=DF.请你帮他写出证明过程.
探究二:如图2,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E、G分别在边BC、AD上,F、H分别在边AB、CD上,且GE⊥FH.小明发现,GE与FH并不相等,请你帮他求出的值.
探究三:小明思考这样一个问题:如图3,在正方形ABCD中,若E、G分别在边BC、AD上,F、H分别在边AB、CD上,且GE=FH,试问:GE⊥FH是否成立?若一定成立,请给予证明;若不一定成立,请画图并作出说明.
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