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对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，给出如下的定义：若⊙O上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙O的关联点．已知点D（

1

2

，

1

2

），E（0，-2），F（2

3

，0）．
（1）当⊙O的半径为1时，①在点D、E、F这三个点中，⊙O的关联点是

 

．②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；
（2）若线段EF上的所有点都是⊙O的关联点，求⊙O的半径r的取值范围．

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图中△ABE和△ACD都是等边三角形．△AEC和△ABD全等吗？如果要△ABE和△ACD全等，则还需要什么条件？

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如图，正方形ABCD的边长为1，M，N为BD所在直线上的两点，且AM=

5

，∠MAN=135°，
（1）求证：△ADN∽△MBA；
（2）求四边形AMCN的面积．

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如图，在△ABC中，AC⊥BC，D是BC延长线上的一点，E是AC上的一点，连接ED，∠A=∠D．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若AC=3，AE=1，BC=4，求DE长．

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如图1是一种机械装置，直线BC为地面，所在等边△ABC是固定支架，机械臂AD以A为圆心，进行摆动，同时，机械臂DM以D为圆心转动．

已知：A距地面高度是5.9米，AD长4米，DM长1米，
（1）这个机械运动时，请直接写出：AM的最大值是

 

；
（2）若AM与⊙D相切，求A、M的距离；
（3）如图2，若机械臂从AD₁的位置旋转60°后到AD₂的位置，此时∠AD₂C=150°，且D₂C=3，求BD₂的长，并直接写出这个旋转过程中BM的最小值．