如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．
（1）求改直的公路AB的长；
（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）

如图，抛物线y=-

1

2

x²+2x+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（-2，0），点D为抛物线顶点，直线BD与y轴交于点F、P是线段BD上一点．
（1）求抛物线的解析式及B点的坐标．
（2）判断△BCD的形状，并说明理由．
（3）若∠BDC=∠PCF，求点P的坐标．

已知二次函数y=x²-2mx+m²+3（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？

如图，直线l：y=x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C与原点O关于直线l对称．反比例函数y=

k

x

（x＜0）的图象经过第二象限的一点C，点P在反比例函数图象上且位于C点左侧，过点P作x轴、y轴的垂线分别交直线l于M、N两点．
（1）求出点A、B两点的坐标及∠BAO的度数；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）求AN•BM的值．

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（2，0），B（6，0），C（0，6），其对称轴交x轴于M点，
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点P是抛物线上一点，且满足 S_△ACP=S_△ABP，求P点坐标；
（3）抛物线对称轴是否存在点Q，使△BCQ与△AOC相似？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的
正半轴上，点A在反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．
（1）求k的值．
（2）若将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象上，求菱形ABCD平移的距离．
（3）怎样平移可以使点B、D同时落在第一象限的曲线上？

已知二次函数y=-x²+6x-5的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），顶点为C．
（1）通过配方，确定点C坐标；
（2）二次函数y=x²-2mx+m²-4的图象与x轴交于点D、E（点D在点E的左侧），顶点为F．
①若存在以六点A、B、C、D、E、F中的四点为顶点的四边形为菱形，则m=；
②是否存在以六点A、B、C、D、E、F中的四点为顶点的四边形为矩形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线y=mx²-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示）及A、B两点的坐标；
（2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；
（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出此时m的值；如果不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系xOy中，对于⊙A上一点B及⊙A外一点P，给出如下定义：若直线PB与 x轴有公共点（记作M），则称直线PB为⊙A的“x关联直线”，记作l_PBM．
（1）已知⊙O是以原点为圆心，1为半径的圆，点P（0，2），
①直线l₁：y=2，直线l₂：y=x+2，直线l₃：y=

3

x+2，直线l₄：y=-2x+2都经过点P，在直线l₁，l₂，l₃，l₄中，是⊙O的“x关联直线”的是；
②若直线l_PBM是⊙O的“x关联直线”，则点M的横坐标x_M的最大值是；
（2）点A（2，0），⊙A的半径为1，
①若P（-1，2），⊙A的“x关联直线”l_PBM：y=kx+k+2，点M的横坐标为x_M，当x_M最大时，求k的值；
②若P是y轴上一个动点，且点P的纵坐标y_p＞2，⊙A的两条“x关联直线”l_PCM，l_PDN是⊙A的两条切线，切点分别为C，D，作直线CD与x轴交于点E，当点P的位置发生变化时，AE的长度是否发生改变？并说明理由．

如图，已知A（-3，0），C（0，

3

），点B在x轴正半轴上，且OB=

1

3

OA．
（1）求出∠ABC的度数；
（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值；
（3）在（2）的情况下，直接写出点P的坐标．