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如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点．
（1）求点O到直线A′B′的距离．
（2）求线段B′E的长．

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实践操作：如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）作∠BCA的平分线，交AB于点O；
（2）以O为圆心，OB为半径作圆．
综合运用：在你所作的图中，
（1）AC与⊙O的位置关系是

 

（直接写出答案）
（2）若BC=6，AB=8，求⊙O的半径．

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如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，sinB=

4

5

，D为边AC中点，P为边AB上一点（点P不与点A、B重合），直线PD交BC延长线与E，设线段BP长为x，线段CE长为y．
（1）求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（2）过点D作BC平行线交AB与点F，在DF延长线上取一点Q，使得QF=DF，联结PQ、QE、QE交边AC于G点
①当△EDQ与△EGD相似时，求x的值；
②求证：

PD

PQ

=

DE

QE

．

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已知：如图，二次函数y=

1

6

x2+(

2

3

+

1

6

m)x+

2

3

m（0＜m＜4）的图象与x轴交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标（可用含字母m的代数式表示）；
（2）第一象限内的点C在二次函数y=

1

6

x2+(

2

3

+

1

6

m)x+

2

3

m
的图象上，且它的横坐标与纵坐标之积为9，∠BAC的正弦值为

3

5

，求m的值．

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如图，利用一面长为18米的墙，用36米篱笆围成一个矩形场地ABCD，设AD长为x米，AB长为y米，且x＜y，矩形的面积为S平方米．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）求S与x的函数关系式，并求出使矩形场地的面积为160平方米的围法．

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已知：⊙O的半径长为5，点A、B、C在⊙O上，AB=BC=6，点E在射线BC上．
（1）如图1，联结AE、CE，求证：AE=CE；
（2）如图2，以点C为圆心，CO为半径画弧交半径OB于D，求BD的长．
（3）当OE=

11

5

时，求线段AE的长．

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已知：如图，∠MAN为锐角，AD平分∠MAN，点B，点C分别在射线AM和AN上，AB=AC．
（1）若点E在线段CA上，线段EC的垂直平分线交直线AD于点F，直线BE交直线AD于点G，求证：∠EBF=∠CAG；
（2）若（1）中的点E运动到线段CA的延长线上，（1）中的其它条件不变，猜想∠EBF与∠CAG的数量关系并证明你的结论．