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如图1,将两个完全相同的三角形纸片和重合放置,其中
.
(1)操作发现
如图2,固定,使绕点顺时针旋转.当点恰好落在边上时,填空:
图1 图2
① 线段与的位置关系是 ;
② 设的面积为,的面积为,则与的数量关系是 ,证明你的结论;
(2)猜想论证
当绕点旋转到图3所示的位置时,小明猜想(1)中与的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了和中BC,CE边上的高,请你证明小明的猜想.
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已知二次函数(a, m为常数,且a≠0).
(1)求证:不论a与m为何值,该函数的图象与x轴总有两个公共点;
(2)设该函数的图象的顶点为C,与x轴交于A,B两点,当△ABC是等腰直角三角形时,求a的值.
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.阅读理解:
如图1,若在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E与点A,B不重合),分别连结ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点.解决问题:
(1)如图1,若∠A=∠B=∠DEC=55°,试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点,并说明理由;
(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E;
拓展探究:
(3)如图3,将矩形ABCD沿CM折叠,使点D落在AB边上的点E处.若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点,请直接写出的值.
图1 图2 图3
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在Rt△ACB中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC,AB分别交于点D,E,且∠CBD=∠A.
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若AD∶AO=8∶5,BC=3,求BD的长.
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在一幅长8分米,宽6分米的矩形风景画(如图①)的四周镶宽度相同的金色纸边,制成一幅矩形挂图(如图②).如果要使整个挂图的面积是80平方分米,求金色纸边的宽.
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如图,有四张背面相同的纸牌A,B,C,D,其正面分别是红桃、方块、黑桃、梅花,其中红桃、方块为红色,黑桃、梅花为黑色.小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后,摸出一张,将剩余3张洗匀后再摸出一张. 请用画树状图或列表的方法求摸出的两张牌均为黑色的概率.
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画图:
(1)如右图,已知△和点O.将△绕点O顺时针旋转90°得到△,在网格中画出△;
(2)如图,AB是半圆的直径,图1中,点C在半圆外;图2中,点C在半圆内,请仅用无刻度的直尺(只能画线)按要求画图.
(i)在图1中,画出△的三条高的交点;
(ii)在图2中,画出△中AB边上的高.
图1 图2
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二次函数的图象与x轴交于点A(-1, 0),与y轴交于点C(0,-5),且经过点D(3,-8).
(1)求此二次函数的解析式和顶点坐标;
(2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在原点处,并写出平移后抛物线的解析式.
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