已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．

    (1)如图①，当PA的长度等于    时，∠PAB＝60°；

     当PA的长度等于    时，△PAD是等腰三角形；

    (2)如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S₁、S₂、S₃．坐标为（a，b），试求2 S₁ S₃－S₂²的最大值，并求出此时a，b的值．

已知二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，与y轴交于点C，x₁，x₂是方程x²+4x﹣5=0的两根．

（1）若抛物线的顶点为D，求S_△ABC：S_△ACD的值；

（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．

操作与探究

我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件。

（1）分别测量下面各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？证明你的发现.

(2) 如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合下面的两个图说明其中的道理.（提示：考虑）

由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件.

如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．

（1）求证：点F是AD的中点；

（2）求cos∠AED的值；

（3）如果BD=10，求半径CD的长．

．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）

小明和小亮玩一种游戏：三张大小，质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数，则小明胜，若和为偶数则小亮胜．

（1）用列表或画树状图等方法，列出小明和小亮抽得的数字之和所有可能出现的情况．

（2）请判断该游戏对双方是否公平？并说明理由．

如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60m²的矩形科技园ABCD，

其中一边AB靠墙，墙长为12m，设AD的长为m，DC的长为m.

（1）求与之间的函数关系式；

（2）若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26m，材料AD和

DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案.

已知二次函数.

(1) 求顶点坐标和对称轴方程；

（2）求该函数图象与x标轴的交点坐标；

（3）指出x为何值时，；  当x为何值时，.

如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，半径为5 ㎝， 过O作OCAB

求点O与AB的距离．

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如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=0.4m，EF=0.2cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高.