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如图①,在平面直角坐标系中,点的坐标为(,),点(3,),二次函数的图象为。
(1)平移抛物线,使平移后的抛物线经过点,但不经过点。
①满足此条件的函数解析式有 个;
②写出向下平移且过点的解析式 。
(2)平移抛物线,使平移后的抛物线经过、两点,所得的抛物线为,如图②,求抛物线的解析式及顶点坐标,并求的面积;
(3)在轴上是否存在点,使,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明好理由。
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如图,圆柱形容器高,底面周长为,在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜,此时已知蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿与与密封相对的处,则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 。
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我州某校计划购买甲、乙两种树苗共1000株用以绿化校园。甲种树苗每株25元,乙种树苗每株30元,通过调查了解,甲、乙两种树苗的成活率分别是90%和95%。
(1)若购买这两种树苗共用去28000元,则甲、乙两种树苗各购买多少株?
(2)要使这批树苗的成活率不低于92%,则甲种树苗最多购买多少株?
(3)在(2)的条件下,应如何选购树苗,使购买树苗的费用最低?并求出最低费用。
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如图所示,正方形网格中,为格点三角形(即三角形的顶点都在格点上)。
(1)把沿方向平移后,点移到点,在网格中画出平移后得到的;
(2)把绕点按逆时针旋转,在网格中画出旋转后的;
(3)如果网格中小正方形的白南昌为1,求点经过(1)、(2)变换的路径总长。
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实验与探究:
三角点阵中前行的点数计算
下图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点……,第行有个点……
……
容易发现,10是三角点阵中前4行的点数之和。你能发现300是前多少行的点数之和吗?
如果用实验的方法,由上而下地逐行相加其点数,虽然你能发现…300,得知300是前24行的点数之和,但是这样寻找答案需要花费较多时间,能否更简捷地得出结果呢?
我们先探究三角点阵中前行的点数和与的数量关系。
前行的点数和是…,可以发现,
…
…+…
把两个中括号中的第一项相加,第二项相加……第项相加,上式等号的后边变形为这个小括号都等于,整个式子等于,于是得到
…
这就是说,三角点阵中前行的点数的和是。
下面用一元二次方程解决上述问题:
设三角点阵中前行的点数和为300,则有,
整理这个方程,得,
解方程得,。
根据问题中未知数的意义确定,即三角点阵中前项的和是300.
请你根据上述材料回答下列问题:
(1)三角点阵中前行的点数和能是600吗?如果能,求出;如果不能,试用一元二次方程说明道理;
(2)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为2、4、6、……、,你能探究出前行的点数之和满足什么规律吗?这个三角点阵中前行的点数之和能是600吗?如果能,求出;如果不能,试用一元二次方程说明道理。
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州教育局为了解我州八年级学生参加社会实践活动情况,随机抽查了某县部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数,并用得到的数据绘制了两幅统计图,下面给出了两幅不完整的统计图(如图)。
请根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1) %,并写出该扇形所对圆心角的度数为 ,请补全条形图。
(2)在这次抽样调查中,众数和中位数分别是多少?
(3)如果该县共有八年级学生2000人,请你估计“活动时间不少于7天”的学生人数大约有多少人?
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