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19．如图1，抛物线经过A（1，0），B（7，0），D（0，$\frac{7}{4}$）三点，以AB为边在x轴上方作等边三角形ABC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线x轴上方是否存在点M，使S_△ABM=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$S_△ABC？若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P．
①若CE=BF，试猜想AF与BE的数量关系，请说明理由，并求出∠APB的度数；
②若AF=BE，当点E由A运动到C时，试求点P经过的路径长．

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18．如图，抛物线y=ax²+bx+4的图象经过A（-3，0），B（5，4），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）线段AB在第一象限内的部分上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，是否存在点P使四边形BPCQ的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标及面积的最大值；如果不存在，说明理由；
（3）x轴正半轴上有一点D（1，0），线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ADC？如果存在，直接写出点M的坐标；如果不存在，说明理由．

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17．如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．
（1）求B的坐标；
（2）当点P运动到点（t，0）时，试用含t的式子表示点D的坐标；
（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于$\frac{\sqrt{3}}{4}$，若存在，请求出符合条件的点P的坐标（直接写出结果即可）

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16．在△ABF中，C为AF上一点且AB=AC．
（1）尺规作图：作出以AB为直径的⊙O，⊙O分别交AC、BC于点D、E，在图上标出D、E，在图上标出D、E（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若∠BAF=2∠CBF，求证：直线BF是⊙O的切线；
（3）在（2）中，若AB=5，sin∠CBF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求BC和BF的长．

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15．如图1，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（10，0），与y轴交于B（0，5），过抛物线上点C（4，8）作CD⊥x轴于点D，连接OC、AB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将△OCD沿x轴以一个单位每秒的速度向右平移，记时间为t（0≤t≤6），在△OCD运动过程中，CD与AB交于点E，OC与AB交于点F，记y为△CEF与△ADE的面积之和．求y关于t的函数关系式，并求y的最小值；
（3）如图2，M为AC的中点，点N的坐标为（n，0）试在线段OC上找一点P，使得∠MPN=∠COA，若这样的点P有两个，求n的取值范围．

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13．如图，⊙O的弦AB=8，直径CD⊥AB于M，OM：MD=3：2，E是劣弧CB上一点，连结CE并延长交AB的延长线于点F，连结DE．
（1）求证：△CDE∽△CFM；
（2）求⊙O的半径；
（3）求CE•CF的值．

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11．如下图所示，将长方形ABCD的一角折起来，使得B点和E点重合，而通过E点可以将AD边3等分．求FG的长度．